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1、课时提升作业(五十九)一、选择题1.(2013上饶模拟)设双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()(A)(B)5(C)(D)2.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值等于()(A)0(B)2(C)4(D)-23.(2013淮北模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cosAFB=()(A)(B)(C)-(D)-4.(2013西安模拟)已知任意kR,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()(
2、A)(0,1)(B)(0,5)(C)1,5)(5,+)(D)1,5)5.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()(A)3(B)4(C)3(D)46.(能力挑战题)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为()(A)2(B)(C)(D)二、填空题7.(2013咸阳模拟)已知椭圆+=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆方程为.8.(2013萍乡模拟)过椭圆+=1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为.9.(
3、能力挑战题)设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得PAB的面积为的点P的个数为.三、解答题10.(2012北京高考)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个顶点A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程.(2)当AMN的面积为时,求k的值.11.(2013合肥模拟)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(,).(1)求椭圆的方程. (2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围.12.(2013商洛模拟)已知椭圆+=1(
4、ab0)的右顶点为A,右焦点为F,直线x=与x轴交于点B且与直线y=x交于点C,点O为坐标原,=2,=8,过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,点P为点M关于直线x=的对称点.(1)求椭圆的方程.(2)求证:N,B,P三点共线.(3)求BMN的面积的最大值.答案解析1.【解析】选D.双曲线-=1的一条渐近线为y=x,由方程组消去y得,x2-x+1=0有唯一解,所以=()2-4=0,=2,e=.2.【思路点拨】数形结合利用几何法求解. 【解析】选D.易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大,此时F1(-,0),F2(,0),不妨设P(0,1),=(-,-1),=(,-1
5、),=-2.3.【解析】选D.设点A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得点F(1,0),由消去y得x2-5x+4=0,x=1或x=4,因此不妨令点A(1,-2),B(4,4),=(0,-2),=(3,4),cosAFB=-.4.【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m1,又因为椭圆+=1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,+).【误区警示】本题易误选D,根本原因是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1m0,即t20恒成立,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,SAMN=1|y1-y2|=|kx1-kx2|=.即7k4-2k2-5=
6、0,解得k=1.11.【解析】(1)由题意可设椭圆方程为+=1(ab0),则得所以,椭圆方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0, 故可设直线l的方程为y=kx+m(m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,且x1+x2=,x1x2=.故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以,=k2,即+m2=0,又m0,所以k2=,即k=.由于直线OP,OQ的
7、斜率存在,且0,得0m22且m21.设d为点O到直线l的距离,则SOPQ=d|PQ|=|x1-x2|m|=,所以SOPQ的取值范围为(0,1).12.【解析】(1)因为=2,=8,则=2a且=8,得a=2,c=1,则椭圆方程为:+=1. (2)设直线l:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),则消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,由于P(8-x1,y1),=(4-x1,y1),=(x2-4,y2),因为(4-x1)y2-(x2-4)y1=4(y1+y2)-x1y2-y1x2=4k(x1+x2-2)-2kx1x2+k(x1+x2)=4k(-2)-2k+k=0.当lx轴时,也满足.故,共线,所以N,B,P三点共线.(3)记d为B到l的距离,则d=,|MN|=,所以S=d|MN|=|k|=.当lx轴时,S=,所以BMN的面积的最大值为.
