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1、平面向量的实际背景及基本概念学习目标1能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别2会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图 形中这些相关的概念.厂知识械理自主学习知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、体积等）称为数量.注意：向量的两个要素：大小和方向，缺一不可.解题时，注意从两个要素出发考虑问题. 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.思考已知下列各量：力；功；速度；质量
2、；温度；位移；加速度；重力；路程；密度.其中是数量的有 ，是向量的有 .答案知识点二向量的表示方法（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包 含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.严终点）以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB.向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，表示（印刷用黑体a，b，c，书写时用a，c) 向量AB的大小：也就是向量 AB的长度(或称模)，即有向线段AB的长度，记作AB|.长度为 0的向量叫做零向量，记作 0;长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.思考在同一平面，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨
3、 迹是.答案单位圆知识点三 相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 记法：向量a平行于b,记作a II b. 规定：零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 向量平行具备传递性吗？答案 向量的平行不具备传递性，即若a/ b, b II c,则未必有a I c,这是因为，当b = 0时，a、c可以是任意向量，但若 b工0,必有a II
4、b, b/ c? a I c.因此在今后学习时要特别注意零 向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.=题型探究重点耒破题型一 向量的基本概念 例1判断下列命题是否正确，并说明理由.若b,则a 一定不与b共线； 若AJB= DC，贝U A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点; 在平行四边形 ABCD中，一定有AB= DC ; 若向量a与任一向量b平行，则a= 0; 若 a= b, b = c,则 a = c;若 a / b, b/ c,贝U a / c.解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确.AB = DC，A、
5、B、C、D四点可能在同一条直线上，故 不正确.在平行 四边形ABCD中，|AB|= |DC|，AB与DC平行且方向相同，故 AB = DC，正确.零向量的 方向是任意的，与任一向量平行，正确.a = b，则|a|= |b|且a与b方向相同；b = c，则|b|=|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故 a= c，正确.若b = 0，由于a 的方向与c的方向都是任意的，a / c可能不成立；bz 0时，a / c成立，故不正确.跟踪训练 1 下列说确的有 .(1) 若|a|=|b|,贝U a= b 或 a=- b;向量Ab与Cd是共线向量，则 A、B、C、D四点必在同一条直线上；(3
6、) 向量Ab与BA是平行向量；(4) 任何两个单位向量都是相等向量.答案解析(1)错误.由|a|= |b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.(2) 错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点 A、 B、 C、 D 不一定在同一条直线上.正确向量AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量.(4)错误.单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要 求长度相等，方向相同.题型二 向量的表示及应用例2 一辆汽车从 A点出发向西行驶了 100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了 200 km到达C点，最后
7、又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.（1）作出向量ab、BC、Cd ；求|AD|.解 向量AB、BC、CD如图所示.由题意，易知AB与CD方向相反，故 AB与CD共线,又 |AB|= |CD|,在四边形 ABCD中，AB綊CD.四边形ABCD为平行四边形. Ad = Bc, |AD|= |Bc|= 200 km.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.（1）试以B为终点画一个向量b,使b= a;在图中画一个以 A为起点的向量c,使|c|= .5,并说出向量c的终点的轨迹是什么?rr1 1 ! ! ! II-i1:厂-厂-厂丁;出；七L *- - - B- i -
8、 -J口 :L12解（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等（作图略）.由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以 A为圆心，半径为.5的圆（作图略）.题型三平行向量与共线向量例3如图所示， ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与EF共线的向量；写出与EF的模大小相等的向量；(3) 写出与EF相等的向量.解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点,1所以EF綊-BC.又因为D是BC的中点，所以与EF共线的向量有：fe , BD, DB, DC, Cd , ebc, CB.与EF模相等的向量有：fe, BD, DB, DC, Cd.(3
9、)与EF相等的向量有：DB 与 CD.跟踪训练3如图，已知四边形 ABCD为?ABCD，贝U(1)与OA的模相等的向量有多少个？与OA的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB共线的向量.解 与OA的模相等的向量有 Ao, oc, Co三个向量.与OA的模相等且方向相反的向量为 oc, Ao.一 c匹B与AB共线的向量有DC, Cd , BA.易错易混对向量的有关概念理解不清致误例4下列说确的个数是（） 向量a，b共线，向量b, c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的起点与 终点都分别重合；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零 向量不平行.A . 1B
10、. 2C . 3D . 4错解 向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同（包括起点、终点），同起点共线向量不是平行向量.答案 B或C或D错因分析 对共线向量的概念理解不清， 零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同.正解 事实上，对于 ，由于零向量与任意向量都共线，因此 不正确；对于 ，由于向量 都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故 不正确；对于 ，向量的平 行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故 不正确；a与b不共线，则a与b都是非零 向量，否则，不妨设 a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而 正确.答案 A-晋堂检测
11、自杳自纠1 .下列说法错误的是（）C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的2. 下列说确的是（）A .若 |a|b|,则 abC.若a= b，则a与b共线B .若 |a|= |b|，则 a= bD.若b，则a 一定不与b共线3. 如图所示，梯形 ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量 AB与DC的关系是（）A.AB = DCB . |AB|= |DC|C.ABDCD.AB |b|;a / b:|a| 0;|b| ）B.C.D.6. 判断下列命题中不正确的是命题个数为（） 若向量a与b同向，且|a|b|,贝U ab; 若向量|a|=|b|,贝U a与b的长度相等且方向相同或相反; 对于任意a
12、i= |b|,且a与b的方向相同，贝U a = b; 向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.A . 1B. 2C . 3D . 4二、填空题7. 若对任意向量b,均有a/ b，则a为.&给出以下5个条件：a = b:|a|=|b|;a与b的方向相反；|a|= 0或|b|= 0:a与b都是单位向量.其中 能使a / b成立的是.（填序号）9. 在四边形ABCD中，AB = DC且|AB|= |AD|,则四边形的形状为 .10 .已知在边长为 2的菱形 ABCD中，/ ABC = 60则|BD|=.三、解答题11. 一辆消防车从 A地去B地执行任务，先从 A地向北偏东30。方向行驶2千米到D地， 然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米 才到达B地.北（1）画出Ad, DC, Cb, Ab；（2）求B地相对于A地的位置向量. 712. 如图，已知AA = BB = CC .求证:A(1) ABCA A B C(2)AJB= A , AC =13. O是正方形ABCD对角线的交点，四边形 OAED , OCFB都是正方形，在如图所示的向 量中：分别找出与AO , BO相等的向量;找出与AO共线的向量；找出与AO模相等的向量;向量A0与CO是否相等？
