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1、2020学年高三数学推理与证明测试题(理科)一、选择题：本大题共小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A289 B1024 C1225 D13782在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则（ ）A B C D3. 已知数列满足，则=（ ）A0 B C D4观察式子：，则可归纳出式
2、子为（ ）A、 B、C、 D、5. 设为正整数,经计算得观察上述结果,可推测出一般结论( ) A. B. C. D.以上都不对 6设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当 成立时，总可推出成立” 那么，下列命题总成立的是（） 若成立，则成立 若成立，则成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立7设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）A BCD8 是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，若，则必有（ ）AB CD二、填空题：本大题共6小题，
3、每小题5分，满分30分9在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 _ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10已知数列满足：则_；=_. w.w.w.k.s.511.已知函数，那么_12在中，射影定理可以表示为，其中分别为角、的对边，类似以上定理，在四面体中，、分别表示、的面积，分别表示面、面、面与底面所成角的大小，请给出一个空间四面体性质的猜想：_13观察下列等式：, 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n,_.14. 将正分割成（）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了的情形），在每个
4、三角形的顶点各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，_，= _.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程15（本小题满分12分）用分析法证明：16（本小题满分12分） 用三段论证明函数在（，1上是增函数17（本小题满分14分）已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明.18（本小题满分14分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线相交于、 两点。（）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；（）写出（）
5、中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。19（本小题满分14分）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若CD=2，平面ABCD 平面DCEF，求直线MN的长；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20（本小题满分14分）首项为正数的数列满足.()证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；()若对一切，都有，求的取值范围。2020学年高三数学推理与证明测试题(理科)参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 共8小题，每小题5分，满分40分题 号1234567
6、8答 案CCBDCDAB1.答案：C解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C2.答案：C解析：由，得3.答案：B解析：4.答案：C解析：特殊值法，用带入易选C5.答案：C.解析：由此推知6.答案： D解析：当时，从而（）成立7.答案： A解析：由题设，若，则，与 是中唯一确定的元素相矛盾，故选A.8.答案： B解析：构造函数，则由题设条件知在 上单调递减，若，则，即又是定义在上的非负可导函数，所以故选B二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共4小题,每小题5分,满分20分9答案：1：8 w10答案：依题意，得
7、，.11答案：提示：12答案：提示：由面积射影法以及二面角的平面的定义13答案：解析：这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，14答案：解析：当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知即进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加.，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由可得所以=三、解答题：本大题共6小题，共80分15由于均大于0要证：，只需证：只需证：只需证：只需证：168160，此式明显成立16证明：定义：如果满足在其定义域内的某个区间上任取任取、且，如果有，则称在该区间上是增函数
8、任取、，且，因为，所以；又因为、，所以因此，即于是根据三段论，得函数在（，1上是增函数17一般形式: 事实上，证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确.）18 解：（）如果直线轴，则; 如果直线与轴不垂直，设直线的方程为， 综上，“如果直线过点，那么”是真命题。（）（）中命题的逆命题：在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于、两点。如果 ，那么直线必过点。 设直线与轴的交点坐标为，则直线方程为，把它代入得 . 由，即直线必过点。 （）中命题的逆命题是假命题。19解：（）取CD的中点G连结MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MGCD，MG=2，.
9、因为平面ABCD平面DCEF， 所以MG平面DCEF，可得MGNG. 所以 （）假设直线ME与BN共面， 则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF，这与矛盾，故假设不成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。20解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。
