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1、传说中的上财33道证明题1、证明需求曲线上的点C的价格弹性等于BC： AC证明：ed=-dQ/dPP/Q=GB/CGCG/OG=GB/OG=BC/AC=OF/AF2、证明线性需求函数Q=f(p)上的任意两点的需求弹性不等3、应用数学方法证明蛛网模型的三种情况4、论证消费者均衡条件为：MU1/P1=MU2/P2证明：已知收入约束条件为：KPjXPzXz构建拉氏函数：l=u(x1,x2)+x(i-p1x1-p2x2)3L/3X1=3U/3X1-P11=0，即 MU1/P1=13L/3X2=3U/3X2-P2X=0，即 MU2/P2=XMU1/P1=MU2/P2=k5、如果预算线给定，一条无差异曲线
2、U(Qx，Qy)与其相切，试证明切点E的坐标为最 优商品组合，切点E为消费者均衡点。6、 证明：MRS12=MU1/MU2证明：设效用函数：U=U(X,X2)U=U(X1,X2)=C(常数)表示同一条无差异曲线，即代表相同的效用两边取全微分3U/3X1dX1+3U/3X2dX2=0-dX/dX厂3U/3X /3U/3X=MU/MU即，MRS“=MU/MU,12121212127、证明：无差异曲线凸向原点8、证明Q=ALaKb。(A，a，b为参数，0a，b 1)当a+p1时，为规模报酬递增当a+p=1时,为规模报酬不变当a+p0.当mplapl时，apl曲线上升；当mplapl时，apl曲线下降
3、；当mpl=apl时， apl取得最大值。10、证明：等产量曲线凸向原点。11、证明：artslk=mpl/mpk。证明：假设等产量曲线的生产函数为：Q顼L,K)=Q0，即f(L,K0=Q0，两边微分得：f3LxdL+f3KxdK=0-dK/dL=73L/戒3K=MPl/MPk，即 MRTSLK=MPL/MPK生产理论中的边际技术替代率与消费者理论中的边际替代率是相似的。12、证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：MPL/MPK=w/r证明：在Q顼L,K）=Q0条件下，已知w, r求L, K使wL+rK有最小值?证明：Z=wL+rK-XQ0-f（L, K）3Z/aL=W-k*3f/3L
4、=0, 3Z/3K=F-X*33K=0 3f/3L/w=3Z/3K/r=1/人，即 MPL/w=MPK/rf（L,K）=Q0,使 Z 取得 max,即 wL+rK 取得 max。13、证明AVC和MC曲线为APl和MPl的一种镜像。14、证明垄断厂商的MR曲线总是小于AR曲线，且斜率是2倍的关系，既MR曲线平分 由纵轴到需求曲线d的任何水平线。证明：因为假定现行的需求函数为：P=a-bQ（a, b为常数，且大于0）TR（Q）=PQ=aQ-bQ2MR（q）=dTR（Q）/dQ=a-2bQAR曲线（需求曲线）：P=a-bQdP/dQ=-bQ=（a-P）/bMR 曲线：MR（Q）=a-2bQdMR（
5、Q）/dQ=-2bQQ=（a-MR）/2b15、 证明边际收益与需求价格弹性的关系为：MR=P（1-1/ed）（ ed弹性）证明：P=P（Q）, TR（Q）=PQ=P（Q）QMR（Q）=dTR（Q）/dQ=dPQ/dQQ+P（Q）=dP/dQQ+P=P（1+dP/dQ-Q/P）=P1-1/（-dQ/dP-P/Q）而 ed=-dQ/dPP/Q （为正值），所以 MR=P1-1/ed16、证明收益，价格与需求价格弹性的关系为：dR/dP=Q（1-ed）证明：R=PQ,dR/dP=Q+dQ/dP-P=Q（1+dQ/dP-P/Q）=Q（1-ed）。其中 ed=-dQ/dPP/Q （为正值）。17、三级
6、价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。VMR=dTR/dQ=d （PQ） /dQ=P+QdP/dQ=P （1-1/ed）, ed=dQ/dPP/Q这样对于市场1： MR=p （1-1/）；对于市场2： MR尸P, （1-1/端） 11d122d2由 MR产MR,，得：P（1-1/犒）=P （1-1/e ） 121d1 2d2p /p （Id ） / （） 若 a Co 州 PVP 日曲牲祐十的击场日7祐/I、的侨修 pi/p,= （1-1/e ） / （1-1/e ）,J en、则、p,，弹|土较大的1市场取较小的价格。1 2d2d1d1 d21218、垄断竞争厂
7、商长期均衡时，LAC必定与d曲线相切的切点：同时也与MR与LMC的 交点处在同一条垂线上，即Q相同。第一步：LAC与d相切于一点，即在此打点时两曲线的切线的斜率相同。所以，d曲 y LMC线的斜率 dP/dQ=d （LAC） /dQ卜uLAC而LAC （切线）的斜率为：已.一D （LAC） /dQ=d （LTC/Q） /dQ=d （LTC） /dQQ-LTC/Q2JV廿=LMC-LAC/Q 僦 在切点H处，均衡价格等于LAC （因为长| t0*期利率为0）,所以有LAC=P，代入上式得到：所以 dP/dQ= （LMC-P） /Q，则 LMC=dP/dQQ+P又 TR=TQ, MR=dTR/dQ
8、=P+dP/dQQ所以此时，LMC=MR换句话说：LMC=MR时的产量就是H点处的产量。19、证明在生产技术相同的n寡头垄断企业组成的古诺模型中，行业供给量等于市场容量的 n/(n+1)假设厂商的成本为0,行业的需求函数为：P=a-b(Q1+Q2+Qn)n1=PQ1=aQ1-bQ1(Q1+Q2+Q)，dn1/dQ1=a-2bQ1-bQ2-bQ)=0 nnn2=PQ2=aQ2-bQ2(Q1+Q2+Qn)，dn2/dQ2=a-2bQ2-bQ1-bQn)=0n =PQ =aQ -bQ (Q+Q,+Q )，dn /dQ =a-2bQ -bQ-bQ )=0n nnn 旦 4nn nn 旦na/b=2Q1
9、+Q2+Qn，a/b=Q1+2Q2+.Qn，*a/b=Q1+q2+2Qn-所以 Q1=Q2=Qn=1/(n+1)a/b由需求方程P=a-bQ，当P=0时，则市场容量Q0=a/b所以n家寡头的行业供给量为n/ (n+1) a/b，即市场容量为n/ (n+1)20、证明完全竞争厂商使用要素的原则是：VMP=w证明：n (L) =PQ (L) -wL-FC (固定成本)要达到nmax，则求导使之为0dn (L) /dL=PdQ/dL-w=0，即 PdQ/dL-w=0PMP-w=0，即 VMP-w=0所以VMP=w时，n取得max21、如果生产函数Q=Q (L，K)为一次齐次函数，则Q=L*3Q/3L
10、+K*aQ/3K注：*为乘号，3，为微分符号。22、证明交换的一般均衡条件：MRSAxy=MRSBxy23、证明三部门经济中转移支付乘数为：0/ (1-P)证明：因为 Y=C+I+G=a+p (Y-T+TR) +I0+G0所以 Y= (a-pT+pTR+I0+G0) / (1-0)所以 ktr=oy/3TR=p/ (1-0)24、证明，固定税制条件下平衡预算乘数为1证明：方法一： Y=KGAG+KrAT=AG/ (1-b) +-bAT/ (1-b) = (1-b) / (1-b) -ATVAT=AG，A Y/AG=A Y/AT=1方法二：Y=C+I+GtAY=AC+AI+AG因为 C=a+bY
11、=a+b (Y-T+TR)所以 C=b ( Y-AT)所以AY=b (AY-AT) +Al+AG=b (AY-AT) +AG因为 I=0，所以 Y/A G= (1-b) / (1-b) =1，(因为 G=A T)25、证明与三部门经济相比，四部门经济相应的乘数更小。证明：Y=C+I+G+NX=a+bY+I+G+NX=a+b (Y-T0-tY+TR) +I0+G0+xo-Mo-yY所以 Y= (a+I0+G0-bT0+bTR+X0-M0) /1-b (1-t) +y四部门经济中的乘数：1、KX=dY/dX=1/1-b (1-t) +y称为对外贸易乘数。2、其他乘数：、KG=1/1-b(1-t)+
12、y、KTR=b/1-b(1-t)+y、KT=-b/1-b(1-t)+y等等特点也是四个部门的乘数变小，因为各个乘数分母为1-b(1-t)+y26、证明财政政策乘数dy/dg=1/1书(1-t)+dk/h证明：在产品市场上，Y=C+I+G (以上三部门经济为例)C=a+Pyd=a+P(Y-T0-ty)I=e=dr所以 r=a+e+g-pT0/d-1-p(1-t)y/d在货币市场上，m=L1(y)+L2(r)=ky-hr所以 r=y*k/h-m/h所以a+e+g-pT0/d-1-p(1-t)y/d=yk/h-m/h-y=(a+e+g-pT0/d+m/h/1-p (1-t) /d+k/hdy/dg=
13、1/1-P (1-t) +dk/h注意：一般dy/dgU1-E (1-t)政府购买支出乘数，但h8,即LM曲线是水平状时， 政府购买乘数=政府支出乘数27、证明货币政策乘数dy/dm=1/1-p (1-t) * (h/d) +k证明：由前面已经得到产品市场、货币市场都均衡时，y=(a+e+g-pT0/d+m/h/1-p (1-t) /d+k/h所以 dy/dm=1/1-p (1-t) /d+k几点结论：其他参数既定时，hf (货币需求对利率越敏感，LM曲线越平缓，货币政策的效果越小) 其他参数既定时，df (投资需求对利率越敏感，IS曲线越平缓，货币政策的效果越大)28、 证明宏观经济学中的总
14、需求函数Y=f (P)(Y：总需求，P：价格水平)的斜率为负 数。证明：在IS-LM模型中考虑水平变化的情况下，建立Y*与P的关系IS： Y=C+I+GR=a+b (TR-T0) +e+G0/d-1-b (1-t) y/d不妨令R=a-pYLM:M/P=L1(Y)+L2(R)=kY-hR由代入得：M/P=kY-h (a-pY)所以 Y=M/P+ha/k+hp，所以 dy/dP 0结论：总需求曲线是向右下方倾斜的，即表示社会的需求总量与价格水平呈反比。29、证明哈罗德模型的基本方程：/=证明：因为经济均衡时S=I所以 I/Y=s/Y，所以 Y/Y-I/Y=S/YGk=S，.G=S/k，k称为加速系数K=K/Y=I/，v称为资本产量比(或资本产出比率)，v=K/
