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1、概率论与数理统计试题及答案概率论与数理统计试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“”，错误打“”） 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则(AB)-B=A ( ) 若X服从参数为的普哇松分布，则EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） 样本方差S2n=1n(Xi=1ni-X)2是母体方差DX的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A、B、C是中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来（1）仅A发生，B、C都不发生；（2）A,B,C中至少有两个发生；（3）A,B,C中不多于两个发生；（4）A,B,C中恰
2、有两个发生；（5）A,B,C中至多有一个发生。三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为XP2-2-101111156515311 301-|x|e ， x， 2求Y=X的分布列. 五、（10分）设随机变量X具有密度函数f(x)=求X的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14X30). x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.
3、994 0.999七、（15分）设X1,X2,L,Xn是来自几何分布P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,L,0p1，的样本，试求未知参数p的极大似然估计. 概率论与数理统计试题（1）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1）（2）ABUACUBC或ABCUUU；（3）UU或UUUUUU；（4）UU；（5）UU或UUU每小题4分；三 解 设A=三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a-x-y，则0xa,0ya,0x+y，a不等式构成平面域S.-5分aaax+yaA发生0x,0y-1. 其它0,X1,X2,L,Xn是来自X的样本，则未知参数q的极大似然估计量为_. 解：1P(A+B
4、)=0.3即 0.3=P(A)+P(B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)所以 P(AB)=0.1P(U)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=e-l+le,-lP(X=2)=l22e-l由 P(X1)=4P(X=2) 知 e-l+le-l=2l2e-l2 即 2l-l-1=0 解得 l=1，故1-1e. 63设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为F(x)，密度为fX(x)则P(X=3)= FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=y)yX)Xy- -)y 因为XU(0,2)，所以FX(=0，即FY(y)=FX故0y4,
5、fY(y)=FY(y)=fX=0,其它.另解 在(0,2)上函数y=x2严格单调，反函数为h(y)所以0y1)=1-P(X1)=e-l=e-2，故 l=2Pmin(X,Y)1=1-Pmin(X,Y)1=1-P(X1)P(Y1) =1-e-4.5似然函数为 L(x1,L,xn;q)=(q+1)xq=(q+1)(x,L,x)q ni1ni=1nlnL=nln(q+1)+qlnxi=1nindlnLn =+lnxi0 dqq+1i=1解似然方程得q的极大似然估计为$= q11nlnxini=1-1. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确
6、的是（A）若P(C)=1，则AC与BC也独立.（B）若P(C)=1，则AUC与B也独立.（C）若P(C)=0，则AUC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立. （ ）2设随机变量XN(0,1),X的分布函数为F(x)，则P(|X|2)的值为（A）21-F(2). （B）2F(2)-1.（C）2-F(2). （D）1-2F(2). （ ）3设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立. （B）D(X-Y)=DX+DY.（C）D(X-Y)=DX-DY. （D）D(XY)=DXDY. （ ）4设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(
7、2,2)(2,3)1111Pab69183若X,Y独立，则a,b的值为2112 （A）a=,b=. （A）a=,b=. 99991151,b=. （ ） （C） a=,b= （D）a=6618185设总体X的数学期望为m,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是m的无偏估计量. （B）X1是m的极大似然估计量.（C）X1是m的相合（一致）估计量. （D）X1不是m的估计量. （ ）解：1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见A与C不独立.2XN(0,1)所以P(|X|2)=1-P(|X|
8、2)=1-P(-2X2)(2)+F(-2)=1-2F(2-) =1-F3由不相关的等价条件知应选（B）.4若X,Y独立则有1=2-1 F 应选（A）. a=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2) 1121 =(+a+b)(+a)=(+a) 393921 a=， b= 99 故应选（A）.5EX1=m，所以X1是m的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A=任取一产品，经检验认为是合格品B=任取一产品确是合格品则（1） P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.90.95+0.10.02=0.857.（2） P(B|A)=P(AB)0.90.95=0.9977. P(A)0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为P(X=k)=C3()()k25k353-kk=0,1,2,3.X即 P02712515412523612538 125X的分布函数为0,27,125
