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1、(du取眩上足够短的一段加该段弦的动能为才专(duYfp一+TdxIOf丿。丿势能为扌汕dxdto392.设y=y(x),F(y,/)不显含x,证明:小卜尸(2)%极值的必要条件y(a)=A,y(b)=B391试根据变分原理导出完全柔软的均匀弦的横振动方程。Hamilton作用量S=尸(乞,ux)dxdt=I*1J.VqJtQJXq2八，n&6FddFd2u-d2u八该泛函的Buler-Lagnnge方程为石苑+灵臥乔+丁左=0。393.393.dF是y-f=c(常数)。dy心H：知严知卩、,OFx=bdx=Jy)旺+.v=aVdydxdyr丿HdFcldFJ石一辰石尸曲=393.393.所以
2、伫f与0。dyaxdyr严、F严+,ddFfdF、,、,-严-W(ddFdFl旺1一)昇dxdydydxdy1勿丿=0,由于fdxOF所以/-/=Cody的极值曲线。求泛函卩口;丘丿(0)=0(1)=1Euler-Lagrange方程为fr2_二0,所以J1+/2=Cy1,可得#=C；,积分得dxJl+产y(x)=Cd+C由边界条件得y=x。393.394.如卜图所示，写出单位球而上从A点到E点的“短程线”所满足的微分方程，并求出短程线。证明此短程线在过A,B两点的人圆上。基丁对称性的考虑，不妨取A点坐标为（给）=（0,0）,B点坐标为（匕纟）。（单位球面上弧元为ds=Jd伊+sm，ed）A,
3、B间弧长为$=Euler-Lagrange方程为f=0,即或口=C,彳弋入A点坐标可得deJl+sE002Jl+sZ时C=0,所以兽=0,即（p=C,代入B点坐标得（P=（P、这正是在大圆上。395.一质点在重力作用下沿光滑曲线由点（心）运动至点（x29y2）（见下图）。试求“捷线”（即质点沿此曲线运动费时最少）所满足的微分方程。7ds叫丁+2心刃,所以讣+2爲宀=计1+)戶X+2g()i-y)dxo记尸（）=1+y/ZOF乔丽刁由题结论即.Jl+产I=C,述可写成Jl+JX+2g(W)JX+2g()y)冶r=5/X+2g()y)。396.若歹(X)使泛函jy=p(x,y,y)Jxy(a)=A
4、,y(b)=B在限制条件人卜=J：G(x,y,ydxCVy(a)=A,y(b)=B取极值，且相应的Lagrange乘子A/0,试证明y(x)也使泛函(x,y,y)=D卜取极值。第一个泛函极值问题引入Lagrange乘子兄，则歹(X)满足f(F-2G)dx的Euler-Lagrange方程：堂一屈一孑些+科竺=0,由于A/0,方程两边乘丄得dydydydyAdGdy丄竺dyAdy这正是j*(G-*Fdx的Euler-Lagrange方程，即y(x)是第二个泛函极值问题的解o397.过二已知点(兀)，(理，儿)作一曲线，使此曲线绕x轴旋转所得曲面面积最小，求曲线作满足的微分方程。旋转而而积为S=f
5、“2/ryds=2;ryJl+产x,由392题结论，Euler-Lagrange方程t2为yd+y，2-,yy=C,即.-v=C.“所刈应的泛函极值问题。设0。V2m+加=0398.试写出本征值问题门八au+pll加人“Vm-2m2由于V-(JmVm)=VVm+JmV2m,所以JmV2m=V(JmVm)-VJm-Vm,JJ(V2m+M()SudV=JJJV(&皿)-V5“Vm+Aii3udV=)6u-dS-Jjj(5VwVu-Mi6u)dV=-()-uSudS-叩J(IVP2v曹纟/dS+出(Vu-Air)dVzPV=0即对应泛函dS+JJJVmVudVV如+0纠=0在条件lildv=c卜的极
6、值。V399.设有一长为1的弦，由同种质料组成，线密度p(x)=l+x(OXr”y2-(l+x)rdx的极值。取一组基函数展开y(x)：)yc“(x),Ti=i泛函化为丈gf0；(X)0(X)一#(1+X)(pk(X)%(X)1=1/=!idx=ESg九。k=l1=1要使它取极值，只需使它对q(R=1,2,川)的偏导数为0,即工cjkl+2cJkk=0,k=12g写成矩阵式2血(c2厶2fmC1C2Ai九2九6丿=0,解之即可。400.用Ritz方法求出的最低两个本征值的近似值，取试探函数为:b(-l)=0,y(l)=0(1)y=c(1-x2)+c2x1-x2；(2)y=c(1-x2)+c2x2(1-x2o该边值问题对应泛函y，2dx在约束条件y2dx=CI、的极值问题。后面步骤略。
