《胡不归问题的力学求解及拓展》由会员分享，可在线阅读，更多相关《胡不归问题的力学求解及拓展（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、胡不归问题的力学求解及拓展江苏省泰州中学王曙光 225300一、胡不归问题的力学求解胡不归问题：古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在 A地当学徒的小伙 子，当他得悉在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程 赶路，由于思念心切，他挑选了全是沙砾地带的直线路径 AB （如图1所示），他认为走近路必定最省时，因此，他放弃了沿驿道 AC先 走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时， 老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭。邻舍闻声 前来劝慰，有人告诉小伙子，老人在弥留之际，还 不断喃喃地叨念“胡不归？胡不归？”。并且 深为怜惜地问道：“你为什么不向掌柜借用一下马 车，沿驿
2、道先走一程呢？”由上述古老的传说，弓I起人们的思索，若小伙 子要提前抵达家门，这是否有可能呢？倘若有可能， 则又应该选择一条什么样的路线呢？这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。胡不归问题可以用数学方法求解，也可以用物理方法求解。费马在解决“胡不归” 问题时，把小伙子看作光粒子，光粒子就是其物理模型，然后，根据光的折射定律建立 数学模型，非常巧妙地解决了“胡不归”问题。其实胡不归问题也可以根据力的平衡原理，用力学方法求解，具体说明如下图2力学求解：根据最小势能原理，质点系势能最小 的状态，满足平衡条件。所以我们根据质点系平衡 条件进行求解。设小伙子在驿道上跑的速度为 V1,在沙砾地带 上跑的速度
3、为V2（Vi V2），小伙子先在驿道上沿 AD跑至D点，然后在沙砾地带沿DB跑至目的地B。将图1竖直放置，在A、B两点分别固定一光滑 定滑轮，在AC上穿一小光滑圆环，将质量为mi、m2 的物体用细绳穿过圆环分别经过 A、B定滑轮悬挂，且m仁m2 = V2： vi,如图2所示, 当系统平衡时，小圆环的位置 D就是小伙子应先在驿道上跑至的 D点。图3利用费马定律验证：如图3所示，设BD与竖直 方向夹角为i，对圆环进行受力分析，根据平衡条件 有 m2gsini = mig， sini = mi / m2假设人的运动为光子的运动，对应的速度为光 在介质中运动的速度，根据费马定律有si ni= V2/V
4、i，所以 mi/ m2 = V2/ vi。由图可知，当vi= V2时，mi m2小环在A处静止，小伙子应该沿 AB直线运动, 所用时间才最短。二、拓展1 胡不归问题变形变形1:如图4所示，设某人要从A到B,以CD为分界线，在CD下方该人运动 速度为vi,在CD上方该人运动速度为V2 (viM V2),求该人沿什么路线从A到B运动所 用时间最短。V2A *vi力学求解：将图4竖直放置，在A、 滑圆环，将质量为 m2 = V2: vi，如图5所示，当系统平衡时，圆环的位置为 线，再沿FB运动至目的地B点。所用时间为最短。利用费马定律验证：如图6所示，假设人的运 动为光子的运动，对应的速度为光在介质
5、中运动的 速度，BF与竖直方向夹角为i，AF与竖直方向夹角 为r，根据费马定律有 sini/sinr = v vi。对圆环进行受力分析，根据平衡条件有m?gsi ni=migs inr， sini/sinr = mi/ m2所以 mi/ m2= V2/ vi。设AB连线与CD的交点为H，由图可知，当Vi = V2时，当Vi V2时，在H点左侧。变形2:如图mi、B点分别固定一光滑定滑轮，在 CD上穿一光 m2的物体用细绳穿过圆环分别经过F，A、B定滑轮悬挂，且 mi:该人应先沿AF运动至分界D0mi = m2， i = r，人应该沿AB直线运动，所用时间最短 mivm2，i vr，F 点在 H
6、 点右侧；当 vivV2时，mi m2,7所示，人要从圆形区域外 A点到达圆形区域内的B点(B点不在圆心0上)，已知人在圆形区域外运动的速度为 V2,在圆形区域内运动的速度为 vi (viM V2),为使人所用时间最短，人应先沿直线运动到圆周上某点 D，然后在沿DB运动，求 圆周上的这一点D。此问题用数学方法求解比较繁琐，用平衡条件求解则显得非常简单。仍然采用上述 方法，在A、B点分别固定一光滑定滑轮，在圆上穿一小光滑圆环，将质量为mi、 m2的物体用细绳穿过圆环分别经过 A、B定滑轮悬挂，且m仁m2 = V2： vi，系统平衡时小 环的位置D即为所求。验证同上，不再重复。2 运费问题数学问题
7、中常常有关于运费的问题，在不同路段运费不同，选择最佳路线，使运费 最少。这类问题除了用数学方法求极值，也可以用费马定律求解，我们仍然根据最小势能原理，从系统满足平衡条件的角度，用力学方法求解。图9如图9所示，假设河的一条岸边为直线 MN , 又AC丄MN于C,点B、D在MN上，现需将货物 从A处运往B处，经陆路AD及水路DB,已知 AC=10km, BC=30km，又陆路单位距离的运费是水 路运费的2倍，为使运费最少，D点应选在距离C 点多远处？N力学解析：设D点距离C点x km，水路单位距 离的运费为a,则陆路单位距离的运费为b= 2a,将 图9竖直放置，如图10所示，在A、B点分别固定 一
8、光滑定滑轮，在 MN上穿一小光滑圆环，将质量 为mi、 m2的物体用细绳穿过圆环分别经过 A、B 定滑轮悬挂，且 mi： m2= b: a= 2,系统平衡时小 环的位置D即为所求。根据平衡条件有：migsini = m2g ,m2s i n所以 2 一xZAC21010 3:5.8km D点选在距C点约5.8km处运费最省3.费马点与选址问题费马点：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。在三角形、四边形中可以用数学方法寻找费马点， 但随着多边形边数的增多，数学 方法将越来越繁琐困难。而根据势能最小原理，满足质点系的平衡条件则可以非常简单、 迅速确定费马点的位置，且与
9、多边形的边数以及凹凸形状基本没有关系。力学方法寻找费马点：以三角形为例，如图11所示，将三角形竖直固定放置在确定的高度，在三角形三个顶点 A、B、C分别固定一光滑定滑轮，将质量均为 m的三个物体分别用一定长度的细线连接并系于一点 P,再经过A、B、C的定滑轮悬挂，系统 平衡时P点即为费马点。证明：设系统平衡时物体的位置依次为 a、b、c，离地面高度依次为 hi、h2、h3，根 据最小势能原理，平衡时三个物体的势能和为 最小。势能和为E=Ea+Eb+Ec=mg( hi+h2+h3)则h1+h2+h3为最小，由于三角形高度确定， 所以aA+bB+cC为最大，而三根细线的长度又 是一定的，所以PA+
10、PB+PC最小。由于细线中张力大小相等，所以线段PA、 PB、PC互成120夹角。如果某一角的内角大 于120，费马点就是该点。同样的方法可以 确定多边形中的费马点，不再赘述。选址问题：如果A、B、C为三个不同城市，要在它们之间建造一火车站使火车站到三城市的距离和为最小，则火车站应该建在何处？问题则变成了常见的选址问题。这一点就是费马点。如果 A、B、C三个城市的重要性不相同，则可以在悬挂物体的重量 上加以调整，比如A、B、C的权重比为3: 2: 2,那么悬挂在A、B、C点的物体重量 之比就设计为3: 2: 2,这样就可以简洁而迅速确定要选的地址。参考文献：1郭士埅 理论力学 高等教育出版社1982年2母国光 战元龄光学 人民教育出版社1978年
