三角形添辅助线

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1、平面几何中添加辅助线的方法是灵活多变的,这就要求我们熟练掌握数学中的基本概念和基本定理,在实践探索中经常进行归类总结,仔细分析题目给我们的条件,找到隐含的及一些有规律的信息。例题1 如图1,D是ABC的边AC的中点,延长BC到点E,使CE=BC,ED的延长线交AB于点F,求EDEF。 分析: 思路一:过C作AB的平行线交DE于G,由D是AC的中点可得FD=DG,由CE=BC可得FG=GE,从而得EDEF=34。 思路二:过D作BE的平行线交AB于I,类似法一得IDBC=12,IDBE=14,从而得EDEF=34。 思路三:过D作AB的平行线交BE于H,易得BH=HC=1/4BE,得EDEF=3

2、4。 说明:本题三种思路所添加的三条平行线,均是为了充分利用“D是ABC的边AC的中点”这一条件,使本来感觉比较薄弱的一个条件,在平行线的作用下变得内涵丰富,既有另外一边的中点出现,又可以利用三角形的中位线定理,这样使用起来就更加得心应手。 构造图形,补题设(已知)的不足有时必须添加一些图形,使题设条件能充分显示出来,从而为定理的应用创造条件,或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论,便于思考与证明。 例题2 已知:O是正方形ABCD内一点,OBC=OCB=15求证:AOB是等边三角形。 分析: (如图2)构建三角形OMC。使DHOC于H,则2=15作DCM=15则DMCBOC且MC

3、O=60DM=MC=OC=OM DMO=360-60-150=150 1=MOD=15 从而有DOC=DCO=75,DO=DC=AD=AB=AO 说明:本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形,然后借助构造出的图形解答题目。 把分散的几何元素聚集起来 有些几何题,条件与结论比较分散。通过添加适当的辅助线,将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上,使他们相对集中、便于比较、建立关系,从而找出问题的解决途径。 例题3 如图8,ABC中,B=2C,且A的平分线为AD,问AB与BD的和等于AC吗? 思路一:如图9,在长线段AC上截取AE=AB,由ABDAED推出BD=DE,从

4、而只需证EC=DE。 思路二:如图10,延长短线段AB至点E,使AE=AC,因而只需证BE=BD,由AEDACD及B=2C,可证E=BDE,从而有BE=BD。 思路三:如图10,延长AB至E,使BE=BD,连接ED,由ABD=2C,ABD=2E,可证AEDACD,可得AE=AC,即AC=AB+BD。 说明:这道例题就是利用辅助线,把本来不在一条直线的线段AB与BD聚集到一条直线上来,这样就可以轻松得到AB+BD或者ACAB,然后题目就迎刃而解了。 平面几何中添加辅助线的方法是灵活多变的,这就要求我们熟练掌握数学中的基本概念和基本定理,在实践探索中经常进行归类总结,仔细分析题目给我们的条件,找到隐含的及一些有规律的信息。

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