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1、-全国卷数学导数真题整理参考答案与试题解析一解答题共14小题12021 函数f*=*3+a*+，g*=ln*i当 a为何值时，*轴为曲线y=f*的切线；ii用min m，n 表示m，n中的最小值，设函数h*=min f*，g*0，讨论h*零点的个数【分析】if*=3*2+a设曲线y=f*与*轴相切于点P*0，0，则f*0=0，f*0=0解出即可ii对*分类讨论：当*1，+时，g*=ln*0，可得函数h*=min f*，g*g*0，即可得出零点的个数当*=1时，对a分类讨论：a，a，即可得出零点的个数；当*0，1时，g*=ln*0，因此只考虑f*在0，1的零点个数即可对a分类讨论：当a3或a0时
2、，当3a0时，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：if*=3*2+a设曲线y=f*与*轴相切于点P*0，0，则f*0=0，f*0=0，解得，a=因此当a=时，*轴为曲线y=f*的切线；ii当*1，+时，g*=ln*0，函数h*=min f*，g*g*0，故h*在*1，+时无零点当*=1时，假设a，则f1=a+0，h*=min f1，g1=g1=0，故*=1是函数h*的一个零点；假设a，则f1=a+0，h*=min f1，g1=f10，故*=1不是函数h*的零点；当*0，1时，g*=ln*0，因此只考虑f*在0，1的零点个数即可当a3或a0时，f*=3*2+a在0，1无零点，因此f*在区
3、间0，1单调，而f0=，f1=a+，当a3时，函数f*在区间0，1有一个零点，当a0时，函数f*在区间0，1没有零点当3a0时，函数f*在单调递减，在单调递增，故当*=时，f*取得最小值=假设0，即，则f*在0，1无零点假设=0，即a=，则f*在0，1有唯一零点假设0，即，由f0=，f1=a+，当时，f*在0，1有两个零点当3a时，f*在0，1有一个零点综上可得：当或a时，h*有一个零点；当a=或时，h*有两个零点；当时，函数h*有三个零点【点评】此题考察了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考察了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题2202
4、1 新课标II设函数f*=em*+*2m*1证明：f*在，0单调递减，在0，+单调递增；2假设对于任意*1，*21，1，都有|f*1f*2|e1，求m的取值围【分析】1利用f*0说明函数为增函数，利用f*0说明函数为减函数注意参数m的讨论；2由1知，对任意的m，f*在1，0单调递减，在0，1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得m的取值围【解答】解：1证明：f*=mem*1+2*假设m0，则当*，0时，em*10，f*0；当*0，+时，em*10，f*0假设m0，则当*，0时，em*10，f*0；当*0，+时，em*10，f*0所以，f*在，0时单调递减，在0，+单调递增2由1
5、知，对任意的m，f*在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f*在*=0处取得最小值所以对于任意*1，*21，1，|f*1f*2|e1的充要条件是即设函数gt=ette+1，则gt=et1当t0时，gt0；当t0时，gt0故gt在，0单调递减，在0，+单调递增又g1=0，g1=e1+2e0，故当t1，1时，gt0当m1，1时，gm0，gm0，即合式成立；当m1时，由gt的单调性，gm0，即emme1当m1时，gm0，即em+me1综上，m的取值围是1，1【点评】此题主要考察导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用属于难题，高考压轴题32021*函数f*=ln*+1a1讨论f*的单调性；设
6、a1=1，an+1=lnan+1，证明：an【分析】求函数的导数，通过讨论a的取值围，即可得到f*的单调性；利用数学归纳法即可证明不等式【解答】解：函数f*的定义域为1，+，f*=，当1a2时，假设*1，a22a，则f*0，此时函数f*在1，a22a上是增函数，假设*a22a，0，则f*0，此时函数f*在a22a，0上是减函数，假设*0，+，则f*0，此时函数f*在0，+上是增函数当a=2时，f*0，此时函数f*在1，+上是增函数，当a2时，假设*1，0，则f*0，此时函数f*在1，0上是增函数，假设*0，a22a，则f*0，此时函数f*在0，a22a上是减函数，假设*a22a，+，则f*0，
7、此时函数f*在a22a，+上是增函数由知，当a=2时，此时函数f*在1，+上是增函数，当*0，+时，f*f0=0，即ln*+1，*0，又由知，当a=3时，f*在0，3上是减函数，当*0，3时，f*f0=0，ln*+1，下面用数学归纳法进展证明an成立，当n=1时，由，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=lnan+1ln，an+1=lnan+1ln，即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立【点评】此题主要考察函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大42021新课标II函数f*=e*e*2*讨论f*的单调性；设g*
8、=f2*4bf*，当*0时，g*0，求b的最大值；1.41421.4143，估计ln2的近似值准确到0.001【分析】对第问，直接求导后，利用根本不等式可到达目的；对第问，先验证g0=0，只需说明g*在0+上为增函数即可，从而问题转化为“判断g*0是否成立的问题；对第问，根据第问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值【解答】解：由f*得f*=e*+e*2，即f*0，当且仅当e*=e*即*=0时，f*=0，函数f*在R上为增函数g*=f2*4bf*=e2*e2*4be*e*+8b4*，则g*=2e2*+e2*2be*+e*+4b2=2
9、e*+e*22be*+e*+4b4=2e*+e*2e*+e*+22be*+e*2，e*+e*+24，当2b4，即b2时，g*0，当且仅当*=0时取等号，从而g*在R上为增函数，而g0=0，*0时，g*0，符合题意当b2时，假设*满足2e*+e*2b2即，得，此时，g*0，又由g0=0知，当时，g*0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为21.41421.4143，根据中g*=e2*e2*4be*e*+8b4*，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g*的解析式中，得当b=2时，由g*0，得，从而；令，得2，当时，由g*0，得，得所以ln2的近似值为0.693【点评】1此题三个小题的
10、难度逐步增大，考察了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决此题的一个重要突破口3此题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第2问中g*的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的围的端点值，到达了估值的目的52021新课标I设函数f*=ae*ln*+，曲线y=f*在点1，f1处得切线方程为y=e*1+2求a、b；证明：f*1【分析】求出定义域，导数f*，根据题意有f1=2，f1=e，解出即可；由知，f*1等价于*ln*e*，设函数g*=*ln*，函数h*=，只需证明
11、g*minh*ma*，利用导数可分别求得g*min，h*ma*；【解答】解：函数f*的定义域为0，+，f*=+，由题意可得f1=2，f1=e，故a=1，b=2；由知，f*=e*ln*+，f*1，e*ln*+1，ln*，f*1等价于*ln*e*，设函数g*=*ln*，则g*=1+ln*，当*0，时，g*0；当*，+时，g*0故g*在0，上单调递减，在，+上单调递增，从而g*在0，+上的最小值为g=设函数h*=*e*，则h*=e*1*当*0，1时，h*0；当*1，+时，h*0，故h*在0，1上单调递增，在1，+上单调递减，从而h*在0，+上的最大值为h1=综上，当*0时，g*h*，即f*1【点评】此题考察导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考察转化思想，考察学生分析解决问题的能力62021新课标函数f*=*2+a*+b，g*=e*c*+d假设曲线y=f*和曲线y=g*都过点P0，2，且在点P处有一样的切线y=4*+2求a，b，c，d的值；假设*2时，f*kg*，求k的取值围【分析】对f*，g*进展求导，在交点处有一样的切线及曲线y=f*和曲线y=g*都过点P0，2，从而解出a，b，c，d的值；由I得出f*，g*的解析式，再
