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1、2019版数学精品资料（北师大版）第四章函数应用1函数与方程11利用函数性质判定方程解的存在(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(2)掌握函数零点存在的方法(3)能结合图像求解函数零点问题2过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法3情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系通过对二
2、次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系渗透“方程与函数” 思想(教师用书独具)教学建议 教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成
3、联系教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴交点的横坐标值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明教学流程通过实例分析：判断方程x2x60解的存在性，引出本节课课题抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3
4、及其变式训练归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(易混点)2掌握函数零点存在的判定方法(重点)3能结合图像求解零点问题(难点)函数的零点及判定定理【问题导思】给定的二次函数yx22x3，其图像如下：1方程x22x30的根是什么？【提示】方程的根为3,1.2函数的图像与x轴的交点是什么？【提示】交点为(3,0)，(1,0)3方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等4通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】在每一点两侧函
5、数值符号异号1函数的零点(1)定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解2函数零点的判定定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)3x9；(4)f(x)1log3x.【思路探究】求函数yf(x)的零点，即求方程
6、f(x)0的根因此令f(x)0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点【自主解答】(1)因为方程0无实数解，所以函数f(x)无零点(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无实数解，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令3x90，则3x9即3x32，则x2，所以函数f(x)3x9的零点是2.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.1求函数yf(x)的零点，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的实数解就是函数f(x)的零点，否则函数f(x)不存在零点2求函数yf(x)的零
7、点通常有两种办法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点(1)函数f(x)4x16的零点为_(2)函数f(x)x的零点的个数是()A0B1C2D3【解析】(1)令4x160，则4x42，解得x2，所以函数的零点为x2.(2)令f(x)0，即x0，x2，故有两个【答案】(1)x2(2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A(，0)B(0，)C(，) D(，)【思路探究】依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解【自主解答】f()20，零点在(，)上【答案】C1确定函数
8、零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反2有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4) D(e,3)【解析】f(2)ln 210，f(2)f(3)0，a0时，设f(x)ax22x1，方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，即解得a1.(3)当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x20，x1，x2一正一负不符合题意综上，a的取值范围为(，1)解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1首先画出符合题意的草图，转
9、化为函数问题2结合草图考虑三个方面：(1)与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系3写出由题意得到的不等式4由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性设函数f(x)ax3a1(a0)在2,1上存在一个零点，求实数a的取值范围【解】f(x)ax3a1(a0)在2,1上为单调函数，且存在一个零点，f(2)f(1)0，即(a1)(4a1)0，即或1a.因此，实数a的取值范围是1，.函数与方程的思想在图像交点问题中的应用设函数yx3与y()x2图像的交点为(x0
10、，y0)，则x0所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)【思路点拨】首先构造函数f(x)x3()x2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间【规范解答】令f(x)x3()x2，由基本初等函数单调性知f(x)在R上是增函数f(0)4，f(1)1()121，f(2)817，f(1)f(2)0，故函数f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数yx3与y()x2图像的交点在区间(1,2)内【答案】B判断两函数h(x)，g(x)图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f(x)h(x)g(x)的零点所在的区间1判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直
11、接解出，如一次、二次函数零点问题；(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点2函数的零点的作用：(1)解决根的分布问题；(2)已知零点的存在，求字母参数的范围(见学生用书第65页)1函数yx22x3的零点和顶点的坐标为()A3,1；(1，4)B3，1；(1,4)C3,1；(1，4) D3,1；(1，4)【解析】令x22x30，得x3或1，将yx22x3配方可知顶点坐标为(1，4)【答案】D2若x0是函数f(x)ln x2x6的零点，则x0
12、属于区间()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】由于f(2)ln 220.且函数f(x)在2,3上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)【答案】B3函数y2x24x3的零点个数是()A0 B1C2 D不能确定【解析】由于方程2x24x30的1624400，所以函数有两个零点【答案】C4若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的值【解】(1)当a0时，函数为yx1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点(2)当a0时，函数yax2x1是二次函数因为yax2x1只有一个零点，所以关于x的方程ax2x10有两个相等的实数根，所以0，即14a0，解得a.综上所述，a的值为0或.(见学生用书第121页)一、选择题1yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A1，(1,0)B(1,0)，0C(1,0)，1 D1,1【解析】由yx10，得x1，故交点坐标为(1,0)，零点是1.【答案】C2若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa1Ca1 Da1【解析】由题意知，44a1.【答案】B3(2013延安高一检测)函数f(x)ex的零点所在的区间是()A(0，) B(，1)C(1，) D(，2)
