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1、例谈等差数列“变脸”以后的求解策略 小学等差数列经典例题 浙江上虞丰惠中学 312361 摘要：数列既是高中数学的主要内容，又是学习高等数学的基础. 高考对数列的考查比较全方面，对等差数列、等比数列的考查每十二个月全部会包括. 相关数列的试题多以综合题为主，常常把数列知识和指数函数、对数函数及不等式的知识综合起来，也常把等差数列、等比数列和极限和数学归纳法综合在一起.关键词：等差数列；变式从近几年看，数列在综合考查等差、等比数列性质及计算的同时，还加大了对递推数列的考查力度. 试题往往从比较抽象的数列入手，给定数列的部分性质，要求考生进行严密的逻辑推理，找出数列的通项公式.而且经常将数列和其它
2、知识结合起来，考查学生综合应用知识的能力. 而数列的通项公式又是数列的关键内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项和前n项和等. 所以，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点. 等差数列的定义为anan-1=d，d是常数，假如再已知首项a1，就能够求出它的通项an=a1+d. 这时不禁会想，当d不是常数时它的通项会怎样？我们能够对等差数列的定义作一“变脸”，如变为anan-1=f，f不是常数，而是有关n的一个变量，或改变an和an-1前的系数等.变式1an+pan-1=d型例已知数列an中a1=2，an+1=，n=1，2，3，求an的
3、通项公式；若数列bn中b1=2，bn+1=，n=1，2，3，证实：0，图1，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1试求an+1和an的关系，并求an的通项公式；当a=1，a1时，证实：ak+2an-1，求a0的取值范围.分析 当变形较难时可考虑设参，但设参的方法有所不一样.解设ant3n=2，用an=3n-12an-1代入，可解出t=.因此an-是公比为2，首项为a1的等比数列.因此an-=12a0n-1，即an=+n2na0 .解略.例6在数列an中，a1=2，an+1=an+n+1+2n，其中0求数列an的通项公式；求数列an的前n项和Sn；证实：存在kN+，使
4、得对任意nN+均成立.分析 题目中有两个参数n和，考生轻易把也作为变量，且形式上试题较复杂，客观上增加了试题的难度.解由an+1=an+n+1+2n，0，两边同除以n+1。得=+1，变形为n+1=n+1.因此n为等差数列，其公差为1，首项为0，故n=n1，故数列an的通项公式为an=n+2n本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文解略.点评 对an+pan-1=f型的数列可经过变形、设参数或两边同除某个数的方法来解答. 解题时能够经过合适引入部分和题目研究的数学对象发生联络的新变量，以此作为媒介，再进行分析和综合，进而处理问题. 参数表现了近代数学中运动和改变的思想，其看法
5、已经渗透到了中学数学的各个分支.例7 设p，q为实数，是方程x2px+q=0的两个实根，数列xn满足x1=p，x2=p2q，xn=pxn-1qxn-2.证实：+=p，=q；求数列xn的通项公式.解略.设xnsxn-1=t，则xn=xn-1stxn-2 . 由xn=pxn-1qxn-2得s+t=p。st=q.消去t得s2ps+q=0，因此s是方程x2px+q=0的根. 因此s1=，s2=.当时，此时方程组的解记为s1=。t1=，或s2=。t2=.于是有xnxn-1=，xnxn-1=，即xn-t1xn-1和xn-t2xn-1分别是公比为s1=，s2=的等比数列. 因此xn-xn-1=n-2=2n-
6、2=n，xn-xn-1=n-2=2n-2=n.因此xn-1=nn，xn-1=，从而得到xn=.当=时，方程x2px+q=0有重根， 因此p24q=0，即24st=0.因此s=t. 不妨设s=t=，由可知xnxn-1=n-2. 因为=，因此xnxn-1=n-2=n，xn=xn-1+n. 等式两边同除以n得=+1，因此数列是公差为1的等差数列. 因此=n+1，即xn=nn+n.总而言之，xn=nn+n.例8 已知数列an中，a1=0，且an+2an-1=3n-1， 求an .分析 因为an-1的系数不是1，因此想措施把an-1的系数变为1，从而转化为上例. 等价转化是把未知解的问题转化到已经有知识
7、范围内可解问题的一个主要思想方法. 经过不停地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题. 历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不停培养和训练学生自觉的转化意识，强化处理数学问题中的应变能力，提升学生思维能力和解题技巧.解在an+2an-1=3n-1两边同除以n，得=n-1.令bn=，则b1=0，且bnbn-1=n-1，转化为例7的形式，解得bn=，因此通项公式an=.此题也能够对等式an+2an-1=3n-1两边同除以3n，得=+. 令bn=。有bn=bn-1+，bn=bn-1b1=-. 因此bn是首项为-，公比为的等比数列. 通项公式bn=-n-1，即an
8、=.点评 通常地，对于求解给定初始值a1，且an+pan-1=f的递推数列通项时，能够在an+pan-1=f两边同除以n得-=. 令bn=，则b1=且bnbn-1=，叠加后bn=b1+. 因此an数列的通项公式an=n-1a1+n. 当p=1时采取叠加法比较简捷；当p=1且f为常数d时an=a1+d，即是等差数列通项公式.数列题常见的还有以下几个“变脸”形式.1. an+2= pan+1+qan.用特征根方法求解，详细步骤为：写出特征方程x2=px+q，并设其二根为x1，x2；若x1x2，可设an=c1x+c2x，若x1=x2，可设an=x；由初始值a1，a2确定c1，c2 .由叠代法推导结果
9、：c1=，c2=a1+，an=c2pn-1+c1=a1+pn-1+.2. an=pan-1+r.解题方法以下.转化等差、等比：an+1+x=pan+1=pan+pxxx=.叠代法：an=pan-1+r=p+r=an=pn-1a1+pn-2r+pr+r.用特征方程求解，an+1=pan+ran=pan-1+r相减an+1.高考中数列试题常以数列的递推关系式为载体，关键考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证实等基础知识和基础方法，考查推理、运算及灵活利用数学知识分析问题和处理问题的能力. 要么给出新定义、新运算进行问题研究；要么在常规问题上给出新情景、新的陈说方法. 试题设计精巧，独具匠心，在新情景下设问，在能力上给考生展示才华的宽广空间，有力地考查学生的创新思维能力. 高考试题重在考查对知识了解的正确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活利用. 它着眼于知识点新奇、巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难. 试题还着眼于对数学思想方法、数学能力的考查. 高考试题的这种主动导向，决定了我们在教学中必需以数学思想指导知识、方法的利用，整体把握各部分知识的内在联络. 只有加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全方面提升数学能力，才能提升学生的解题水平和应试能力.本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
