浙江大学01-04微积分试卷

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1、浙江大学2001级微积分(上)期终考试试卷系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六七八总分复核得 分评卷人得分一、选择题:(每小题2分,共8分)在每题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确那项的代号填入空格中1.设,其中,互不相等,且 ,则的值等于( ). (A). (B). (C). (D).2.曲线,当时,它有斜渐进线( ).(A). (B). (C). (D).3.下面的四个论述中正确的是( ).(A).“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件;(B).函数在区间内可导,那末是 在处取到极值的充分条件;(C).“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要

2、;(D).“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.4.下面四个论述中正确的是( ).(A).若 ,且单调递减,设,则;(B). 若 ,且极限存在,设,则;(C). 若,则;(D). 若,则存在正整数,当时,都有.得分二、填空题:(每空格2分,共12分)只填答案1. =_;=_.2.函数可导,则=_.3. =_.4. =_;=_.得分三、求极限:(每小题7分,共14分)1.数列通项,求.2.求.得分得分四、求导数:(每小题7分,共21分)1. ,求.2. 求,.3.函数由确定,求得分五、求积分:(每小题7分,共28分)1.求.2.求.3.求.4.计算.得分六、(6分)下面两题做一

3、题,其中学过常微分方程的专业做第1题,未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程:2.有一半径为4米的半球形水池注满了水,现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内,问至少要做多少功?得分七、(6分)在平面上将连结原点与点的线段(即区间)作等分,分点记作,对,过作抛物线的切线,切点为.1.设的面积为,求;2.求极限.得分八、证明题(5分)设在上连续,且,.证明:对任意,且,必有.浙江大学2001级微积分(下)期终考试试卷系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六总分复核得 分评卷人得分一、填空题:(每小题3分,共15分)只填答案1.设一平面经过原点及点,且与平面垂直,则此平面

4、的方程是_。2.设,可微,则=_。3. 曲面在点的法线方程是_。4. 函数关于的幂级数展开式是_,且展开式的收敛区间为_。5.设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_。得分二、选择题:(本题共5小题,每小题3分,共15分)在每题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确那项的字母填入括号中1.设直线,设平面,则直线( )(A)平行于 (B)在上 (C)垂直于 (D)与斜交2.考虑二元函数的下面4条性质:在点处连续;在点处的两个偏导数连续;在点处可微;在点处的两个偏导数存在,若用“”表示可由性质推出性质,则有( )(A) (B) (C) (D)3.已知:为某函数的全微分,则等于( )(A) (B)

5、 (C) (D)4.设为常数,则级数( )(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与有关5.设则div(grad )为( )(A) (B) (C) (D)得分三、(每小题8分,共24分)1.设,其中具有二阶连续的偏导数,具有二阶导数,求,通项.2.设由方程所确定,其中为可微函数,求,.3.在第一卦限内作球面的切平面,使得该切平面与三坐标平面所围成的区域的体积最小,求切点坐标.得分得分四、(每小题8分,共16分)1. 求二重积分,其中是由曲线,直线,所围成的平面区域.2.求三重积分,其中是由曲线绕轴旋转所成的曲面与平面所围成的空间区域.得分五、(每小题8分,共16分)1.求曲线积

6、分,其中是抛物线上自点到点的一段有向弧.2.求曲面积分,其中是曲面介于平面与平面之间的部分,法线朝上,为连续函数.得分六、(第1小题8分,第2小题6分,共14分)1.求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数.2.证明级数当时收敛,当,且时发散.浙江大学2002级微积分(上)期终考试试卷学院_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六七八总分复核得 分评卷人得分一、填空题:(每题4分,共12分)只填答案1.举出符合各题要求的一例,并将其填入空格内。(1)在点不连续,但当时极限存在的函数有_;(2)属“”或“”未定型,且其极限存在,但极限不能用洛必达法则求得的极限有_;(3)原函数不

7、存在,但其原函数不能用初等函数表示的函数有_;(4)有界,但不可积的函数有_;2.已知抛物线过点,且在该点的曲率圆方程是:.则=_,=_,=_,曲线在(1,2)处的曲率k_.3. 设.(1)=_;(2)=_;(3)=_;得分二、选择题:(每题3分,共12分)在每题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确那项的字母填入括号中1.设,且在内二阶可导,又,则在内的单调性和图形的凹向是( ). A.单调增,向下凹 B.单调减,向下凹 C.单调增,向上凹 D.单调减,向上凹2.函数在点的以下结论正确的是( )A.若,则必是一极值;B.若,则点必是曲线的拐点;C.若极限存在(为正整数),则在点可导,且有;

8、D.若在处可微,则在的某领域内有界。3.设当时,都是无穷小(),则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是( ).A.; B.; C.; D. .4.设函数在处( ).A.不连续; B.连续,但不可导; C.可导,但导数不连续; D.可导,且导数连续。得分三、求极限:(每小题7分,共14分)1. .2. .得分得分四、求导数:(每小题6分,共18分)1. 设.求.2. 求,.3.函数由所确定,求,.得分五、求积分:(每小题6分,共24分)1. .2. .3. .4. .得分六、(10分)下面两题做一题,其中学微积分(甲)的专业做第甲题,学微积分(乙)的专业做第乙题。(甲):(1)在抛物线上找一点,

9、过点作抛物线的切线,使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的区域面积最小,求点坐标。 (2)设函数在区间内连续,极限,存在,且两者异号,证明方程在内至少有一个实根。(乙):设有一边界有两条抛物线与所围成的平板。 (1)画出平板的图形,并计算其面积; (2)将此平板铅直置于水中,水平面在处,试求平板一侧所受到的水的静压力。得分七、(5分)设数列由下式给出:,证明数列极限存在,并求得分八、证明题(5分)设在内二阶可导,且,证明:对于任意的,且及,恒有.浙江大学2002级微积分(下)期终考试试卷系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六总分复核得 分评卷人得分一、选择题:(本题共5小题,每小

10、题3分,共15分)在每题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确那项的字母填入括号中。1.二元函数在点处可微是在该点两个偏导数都存在的( )(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件2.二元函数,在点处( )(A)连续、偏导数存在 (B)连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在 (D)不连续、偏导数不存在3.设直线与,则与的夹角为( )(A) (B) (C) (D)4.下列级数中收敛的级数是( )(A) (B) (C) (D)5.设力作用在一质点上,该质点从点沿直线移动到点,则此力所作的功为( )(A) (B) (C) (D)得分二、填空题:(每小题3分,共24分)只填答案1.设一平面经过原点及点,且与平面垂直,则此平面的方程是_。2.与矢量,矢量都垂直的单位矢量是_。3.设方程确定,则_。4.曲面在点处的切平面方程是_。5._。6.设曲线,则=_。7.设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为_。8.设,则的麦克劳林级数展开式为_。得分三、计算(每小题8分,共16分)1.设,具有连续的二阶偏导数,求,。2.设函数,(1)在点处沿哪个方向的方向导数最大;(2)求在点处的最大方向导数。得分得分四、计算(每小题8分,共16分)1.

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