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1、（天津专版）2022年高考数学 母题题源系列 专题16 离散性随机变量的分布列、数学期望 理【母题原题1】【2018天津，理16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率【考点分析】本小题主要考查随机抽样、离散
2、型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13分【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）试题解析：（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量的所有可能取值为所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望【名师点睛】本题主要在考查超几何分布和分层抽样超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的
3、个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1） ；（2）总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比【母题原题2】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【答案】（I）；（II）试题解析：（）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，随机变量的分
4、布列为0123随机变量的数学期望（）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为这2辆车共遇到1个红灯的概率为【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题【母题原题2】【2016天津，理16】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这1
5、0人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（）；（）详见解析试题解析：解：由已知，有所以事件发生的概率为随机变量的所有可能取值为，所以随机变量分布列为随机变量的数学期望考点：概率，概率分布与数学期望【名师点睛】求均值、方差的方法1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服从常用的分布
6、(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解【母题原题3】【2015天津，理16】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】(I) ； (II) 随机变量的分布列为所以随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望 【命题意图】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点
7、，主要考查学生对取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的理解，要求学生能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 【命题规律】离散型随机变量的均值与方差如单独考查一般以客观题形式出现，主要考查利用公式进行计算，难度不大，若以解答题形式出现，一般不单独考查，常见命题方式有两种：一是与概率、分布列计算结合在一起进行考查，二是与统计结合在一起进行考查，难度中等 【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：确定概率求期望 抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为09974，从而零件的尺寸在之外的概率为00026，故因此的数学期望为； 第二步：根据概率判
8、断合理性 如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有00026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有00408，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 第三步：剔除值，求估计值 由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除之外的数据922，剩下数据的平均数为，因此的估计值为1002，剔除之外的数据922，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为【方法总结】1高考对离散型随机变量的均值与方差的考查
9、主要有以下三个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断2求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解3解答题中对期望与方差的考查常与分布列结合在一起进行考查，求解此类问题要先根据随机变量的定义，确定随机变量可以
10、取哪些值，然后根据随机变量的取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据均值与方差的公式计算，若随机变量服从二项分布，可直接利用公式求解4均值与方差的实际应用对于均值与方差的实际应用，命题模式通常是已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断求解这类问题要用到均值与方差(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于
11、方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定1【2018天津南开中学模拟】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析；【解析】分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则，（1）这4个
12、人中恰有2人去参加甲游戏的槪率为；（2）的所有可能取值为0，2，4由于与互斥，与互斥，所以，所以的分布列是所以随机变量的数学期望【名师点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列及其期望，在解题的过程中，需要认真审题，正确使用公式计算结果2【2018天津部分区二模】某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有（1）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（2）记选出的4名大学生中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望【答案】
13、（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，选法种数是种，选出的4名大学生仅有1名女生的选法有2种选法：从智慧队中选取1女生的选法共有种，从理想队中选取1女生的选法共有种，由此能求出选出的4名大学生仅有1名女生的概率（II）随机变量X的取值可为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和详解：所以，选出的4名大学生仅有1名女生的概率为（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，则，所以随机变量的分布列为【名师点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
14、想，是中档3【2018天津河东区二模】某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数的分布列与期望【答案】（1） ；（2）分布列见解析，（2）的取值为0、1、2，则分布列为：012P 【名师点睛】（1）本题主要考查古典概型、对立事件的概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力（2） 计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式4【2018天津河北区二模】某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抛取3个问题，已知这6个问中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的（I）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（II）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望
