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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑专题08,立体几何多选题,（解析版） 第一篇 备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题 08 立体几何多选题 典 型 母 题 题源 2021荆门市龙泉中学高三月考（理） 试题 内容 正方体1 1 1 1ABCD ABC D - 的棱长为 2, , , E F G 分别为1 1, , BC CC BB 的中点,则（ ） A直线1D D 与直线 AF 垂直 B直线1AG 与平面 AEF 平行 C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为92 D点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 试题 解析 A若1D D AF ，又由于1D D AE 且 AEAF A
2、= ，所以1DD 平面 AEF ， 所以1DD EF ，所以1CC EF ，明显不成立，故结论错误； B如图所示，取1 1BC 的中点 Q ，连接1, AQ GQ ， 由条件可知： / / GQ EF ，1/ / AQ AE ，且1, CQ AQ Q EF AE E = = ，所以平面1/ / AGQ 平面 AEF ， 又由于1AG 平面1AGQ ，所以1/ / AG 平面 AEF ，故结论正确； C如图所示，连接1 1, D F D A ，延长1, D F AE 交于点 S ， 由于 , E F 为1, C C BC 的中点，所以1/ / EF AD ，所以1, , , A E F D 四点
3、共面， 所以截面即为梯形1AEFD ，又由于2 214 2 2 5 DS AS = = + =，12 2 AD= ， 所以( )1221 2 22 2 2 5 62 2AD SS = - = ，所以13 9=6 =4 2AEFDS 梯形，故结论正确； D记点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离分别为1 2, h h ， 由于11 1 1 1 123 3 2 3C AEF AEF A CEFV S h V- -= = = = ， 又由于21 1 1 2 223 3 2 3G AEF AEF A GEFV S h V- -= = = = ， 所以1 2h h ，故结论错误. 故选：BC. 试题
4、点评 本题考查空间立体几何的直线与直线垂直、直线与平面平行的推断及截面面积、点到平面的距离、体积有关的计算的综合应用，难度一般. 方法 归纳 解决立体几何有关的选择题，一般就是直线、平面之间的位置关系，面积、体积、距离、线线角、线面角的求解等。解决这类题要观看图形的特点，结合所学的几何定理、公式解决问题，尤其在求求线线角、面面角时，能建立空间直角坐标系，建立坐标系，用空间向量求解。解决立体几何选择题的方法一般有： 特值检验法，顺推破解法， 正难则反法，逐项验证法，估算法等。 【针对训练】 1.已知菱形 ABCD 中， 60 BAD = ， AC 与 BD 相交于点 O ，将 ABD 沿 BD
5、折起，使顶点 A 至点 M ，在折起的过程中，下列结论正确的是( ) A BD CM B存在一个位置，使 CDM V 为等边三角形 C DM 与 BC 不行能垂直 D直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60 【答案】ABD 【解析】A 选项，由于菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，所以 AO BD ， CO BD ； 将 ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M ，折起过程中， AO 始终与 BD 垂直，因此 MO BD ， 又 MO CO ，由线面垂直的判定定理，可得： BD 平面 CMO ，因此 BD CM ，故 A 正确； B 选项，由于折起的过程中，
6、AD 边长度不变，因此 MD CD = ；若 CDM V 为等边三角形，则 CM CD = ；设菱形 ABCD 的边长为 2 ，由于 60 BAD = ，则sin60 3 AO AB = =，即3 AO MO = =，又2 CM CD = = ，所以3 3 4 1cos2 3 3MOC+ - = =，即二面角 M BD C - - 的余弦值为13时， CDM V 为等边三角形；故 B 正确； C 选项， DM OM OD = - ， BC OC OB = - ，由 A 选项知， MOBD ， CO BD ， 所以 0 OM OB OD OC = = ，因此 ( ) ( ) DM BC OM O
7、D OC OB OM OC OD OB = - - = - ， 同 B 选项，设菱形 ABCD 的边长为 2 ，易得 3 OC OM = = ， 1 OB OD = = ， 所以 3cos 1 DM BC MOC = + ，明显当1cos3MOC =- 时，0 DM BC =，即 DM BC ；故 C 错误； D 选项，同 BC 选项，设菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 3 OM = ， 1 OD= ， 2 MD= ，由几何体直观图可知，当 OM 平面 BCD ，直线 DM 与平面 BCD 所成的角最大，为 MDO ，易知 60 MDO = . 故选：ABD. 2.如图，在正方体1 1 1
8、1ABCD ABC D - 中，点 P 在线段1BC 上运动，则 （ ） A直线1BD 平面1 1AC D B三棱锥1 1P AC D - 的体积为定值 C异面直线 AP 与1A D 所成角的取值范围是 45 ,90 D直线1C P 与平面1 1AC D 所成角的正弦值的最大值为63 【答案】ABD 【解析】对于选项 A,连接1 1B D ,由正方体可得1 1 1 1AC BD ,且1BB 平面1 1 1 1D C B A ,则1 1 1BB AC ,所以1 1AC 平面1 1BD B ,故1 1 1AC BD ；同理,连接1AD ,易证得1 1AD BD ,则1BD 平面1 1AC D ,故
9、 A 正确； 对于选项 B,1 1 1 1P AC D C A PDV V- -=,由于点 P 在线段1BC 上运动,所以1112A DPS AD AB = ,面积为定值,且1C 到平面1 1APD 的距离即为1C 到平面1 1ABCD 的距离,也为定值,故体积为定值,故 B 正确； 对于选项 C,当点 P 与线段1BC 的端点重合时, AP 与1A D 所成角取得最小值为 60 ,故 C 错误； 对于选项 D,由于直线1BD 平面1 1AC D ,所以若直线1C P 与平面1 1AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则 P 运动到1BC 中点处,即所
10、成角为1 1C BD ,设棱长为 1,在1 1Rt DC B 中,11 112 6cos3 3C BC BDBD = = = ,故 D 正确 故选：ABD 3.已知两条直线 l ， m 及三个平面 a ， b ， g ，则 a b 的充分条件是（ ） A l a ， lb B la ， mb ， lm C ag ， b g D l a ， m b ， l m 【答案】 ABC 【解析】由面面垂直定理可以推断 , , A B C 正确， 对于选项 D ， l a ， m b ， l m ，也可以得到 a b ，故 D 错. 故选： ABC . 4.如图,在棱长均相等的四棱锥 P ABCD - 中
11、, O 为底面正方形的中心, M , N 分别为侧棱 PA , PB 的中点,有下列结论正确的有：( ) A PD 平面 OMN B平面 PCD 平面 OMN C直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90 D ON PB 【答案】 ABD 【解析】选项 A,连接 BD，明显 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 PD ON,由线面平行的判定定理可得， PD 平面 OMN ；选项 B, 由 M , N 分别为侧棱 PA , PB 的中点,得 MN AB,又底面为正方形，所以MN CD，由线面平行的判定定理可得，CD 平面 OMN,又选项 A 得 PD 平面 OMN ，由面面平
12、行的判定定理可得，平面 PCD 平面 OMN ；选项 C,由于 MN CD，所以 PDC 为直线 PD 与直线 MN 所成的角，又由于全部棱长都相等，所以 PDC= 60 ，故直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 60 ；选项 D，因底面为正方形，所以2 2 2AB AD BD + =,又全部棱长都相等，所以2 2 2PB PD BD + =,故 PB PD ,又 PD ON，所以 ON PB ，故 ABD 均正确. 5.已知四棱锥 P ABCD - ，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD 平面 ABCD ， 2 3 BC = ，2 6 CD PC PD = = =.若点 M 为 PC 的
13、中点，则下列说法正确的为（ ） A BM 平面 PCD B / PA 面 MBD C四棱锥 M ABCD - 外接球的表面积为 36 p D四棱锥 M ABCD - 的体积为 6 【答案】 BC 【解析】作图在四棱锥 P ABCD - 中： 由题：侧面 PCD 平面 ABCD ，交线为 CD ，底面 ABCD 为矩形， BC CD ，则 BC 平面 PCD ，过点 B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项 A 错误； 连接 AC 交 BD 于 O ，连接 MO ， PAC D 中， OM PA ， MO 面 MBD ， PA 面 MBD ，所以 / PA 面 MBD ，所以选项 B 正确；
14、四棱锥 M ABCD - 的体积是四棱锥 P ABCD - 的体积的一半，取 CD 中点 N ，连接 PN ， PN CD ，则 PN 平面 ABCD ，3 2 PN =，四棱锥 M ABCD - 的体积 1 12 3 2 6 3 2 122 3M ABCDV-= = 所以选项 D 错误. 矩形 ABCD 中，易得 6, 3, 3 AC OC ON = = = ， PCD 中求得：16,2NM PC = = 在 Rt MNO 中2 23 MO ON MN = + = 即： OM OA OBOC OD = = = = ，所以 O 为四棱锥 M ABCD - 外接球的球心，半径为 3 ， 所以其体积为 36 p ，所以选项 C 正确 故选：BC 6.正方体1 1 1 1ABCD ABC D - 的棱长为 2，已知平面1AC a ，则关于 a 截此正方体所得截面的推断正确的是（ ） A截面外形可能为正三角形 B截面外形可能为正方形 C截面外形可能为正六访形 D截面面积最大值为 3 3 【答案】ACD 【解析】如图，明显 A,C 成立，下面说明 D 成立， 如图设截面为多边形 GMEFNH ， 设1AG x = ，则 01 x ， 则 2 , 2(2 ), 2 2, GH ME NF x M
