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1、2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编三、 圆中的计算和证明综合题1.（2020福建）如图，AB与O相切于点B，AO交O于点C，AO的延长线交O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，sinA=12（1）求BED的大小；（2）若O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF33，求证：DF与O相切【解答】解：（1）连接OB，如图1，AB与O相切于点B，ABO90，sinA=12，A30，BODABO+A120，BED=12BOD60；（2）连接OF，OB，如图2，AB是切线，OBF90，BF33，OB3，tanBOF=BFOB=3，BOF60，BOD120，BOFDOF60，在BOF
2、和DOF中，OB=ODBOF=DOFOF=OF，BOFDOF（SAS），OBFODF90，DF与O相切2.（2020贵州铜仁）如图，AB是O的直径，C为O上一点，连接AC，CEAB于点E，D是直径AB延长线上一点，且BCEBCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD8，BECE=12，求CD的长【解答】（1）证明：连接OC，AB是O的直径，ACB90，CEAB，CEB90，ECB+ABCABC+CAB90，AECB，BCEBCD，ABCD，OCOA，AACO，ACOBCD，ACO+BCOBCO+BCD90，DCO90，CD是O的切线；（2）解：ABCE，tanA=BCAC=tanBCE=BE
3、CE=12，设BCk，AC2k，DD，ABCD，ACDCBD，BCAC=CDAD=12，AD8，CD43.（2020黑龙江哈尔滨）已知：O是ABC的外接圆，AD为O的直径，ADBC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F（1）如图1，求证：BFC3CAD；（2）如图2，过点D作DGBF交O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BEOH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DGDE，AOF的面积为925，求线段CG的长【解答】证明：（1）AD为O的直径，ADBC，BEEC，ABAC，又ADBC，BADCAD，OAOB，BADABO，BADABOCAD，BFCBAC+ABO，BFCB
4、AD+EAD+ABO3CAD；（2）如图2，连接AG，AD是直径，AGD90，点H是DG中点，DHHG，又AODO，OHAG，AG2OH，AGDOHD90，DGBF，BOEODH，又OEBOHD90，BODO，BOEODH（AAS），BEOH；（3）如图3，过点F作FNAD，交AD于N，设DGDE2x，DHHGx，BOEODH，OEDHx，OD3xOAOB，BE=OB2-OE2=9x2-x2=22x，BAECAE，tanBAEtanCAE=BEAE=NFAN，22x4x=NFAN，AN=2NF，BOENOF，tanBOEtanNOF=BEOE=NFON，22xx=NFON，ON=24NF，AO
5、AN+ON=524NF，AOF的面积为925，12AONF=12524NF2=925，NF=625，AO=524NF33x，x1，BE22=OH，AE4，DGDE2，AC=AE2+CE2=16+8=26，如图3，连接AG，过点A作AMCG，交GC的延长线于M，由（2）可知：AG2OH42，四边形ADGC是圆内接四边形，ACMADG，又AMCAGD90，ACMADG，ADAC=AGAM=DGCM，626=42AM=2CM，CM=263，AM=833，GM=AG2-AM2=32-643=463，CGGMCM=2634.（2020湖北恩施州）如图1，AB是O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与
6、O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在O上，且CDCA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BEEF；（3）如图2，连接EO并延长与O分别相交于点G、H，连接BH若AB6，AC4，求tanBHE【解答】解：（1）如图1中，连接OD，CDCA，CADCDA，OAODOADODA，直线AM与O相切于点A，CAOCAD+OAD90，ODCCDA+ODA90，CE是O的切线（2）如图2中，连接BD，ODOB，ODBOBD，CE是O的切线，BF是O的切线，OBDODE90，EDBEBD，EDEB，AMAB，BNAB，AMBN，CADBFD，
7、CADCDAEDF，BFDEDF，EFED，BEEF（3）如图2中，过E点作ELAM于L，则四边形ABEL是矩形，设BEx，则CL4x，CE4+x，（4+x）2（4x）2+62，解得：x=94，tanBOE=BEOB=943=34，BOE2BHE，tanBOE=2tanBHE1-tan2BHE=34，解得：tanBHE=13或3（3不合题意舍去），tanBHE=13补充方法：如图2中，作HJEB交EB的延长线于JtabBOE=BEOB=34，可以假设BE3k，OB4k，则OE5k，OBHJ，OBHJ=OEEH=EBEJ，4kHJ=5k9k=3kEJ，HJ=365k，EJ=275k，BJEJBE
8、=275k3k=125ktanBHJ=BJHJ=13，BHEOBEBHJ，tanBHE=135.（2020武汉）如图，在RtABC中，ABC90，以AB为直径的O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E（1）求证：AD平分BAE；（2）若CDDE，求sinBAC的值【解答】（1）证明：连接OD，如图，DE为切线，ODDE，DEAE，ODAE，1ODA，OAOD，2ODA，12，AD平分BAE；（2）解：连接BD，如图，AB为直径，ADB90，2+ABD90，3+ABD90，23，sin1=DEAD，sin3=DCBC，而DEDC，ADBC，设CDx，BCADy，DCBBCA，32，C
9、DBCBA，CD：CBCB：CA，即x：yy：（x+y），整理得x2+xy+y20，解得x=-1+52y或x=-1-52y（舍去），sin3=DCBC=5-12，即sinBAC的值为5-126.（2020湖北孝感）已知ABC内接于O，ABAC，ABC的平分线与O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与O过点A的切线交于点F，记BAC（1）如图1，若60，直接写出DFDC的值为12；当O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为332-23；（2）如图2，若60，且DFDC=23，DE4，求BE的长【解答】解：（1）如图1，连接OA，AD，AF是O的切线，OAF90，ABAC，BAC60，AB
10、C是等边三角形，ABCACBBAC60，BD平分ABC，ABDCBD30，ADBACB60，BAD90，BD是O的直径，OAOBOD，ABOOAB30，OADADO60，BDCBAC60，ADF180606060OAD，OADF，F180OAF90，DAF30，AD2DF，ABDCBD，AD=CD，ADCD，CD2DF，DFDC=12，故答案为：12；O的半径为2，ADOA2，DF1，AOD60，阴影部分的面积为：S梯形AODFS扇形OAD=12AF(DF+OA)-6022360=123(1+2)-604360=332-23；故答案为：332-23；（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交O于
11、点H，连接DH，则ADH90，DAH+DHA90，AF与O相切，DAH+DAFFAO90，DAFDHA，BD平分ABC，ABDCBD，AD=CD，CADDHADAF，ABAC，ABCACB，四边形ABCD内接于O，ABC+ADC180，ADF+ADC180，ADFABC，ADBACBABC，ADFADB，在ADF和ADE中DAF=DAEAD=ADADF=ADE，ADFADE（ASA），DFDE4，DFDC=23，DC6，DCEABDDBC，CDECDE，CDEBDC，CDDB=DECD，即6BD=46，BD9，BEDBDE9557.（2020湖南怀化）如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CDCA，且D30（1）求证：CD是O的切线（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G求证：CG2AEBF【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，CACD，且D30，CADD30，OAOC，CADACO30，CODCAD+ACO30+3060，OCD180DCOD180306090，OCCD，CD是O的切线；（2）COB60，且OCOB，OCB为等边三角形，CBG60，又CGAD，CGB90，GCBCG
