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1、012 第十二章 动量矩定理第12章 动量矩定理 通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。 在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C的z轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质v心速度vC总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z
2、轴的距离的乘积之和即刚体对z轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。 12-1 质点动量矩定理 例2.人造地球卫星本来在位于离地面h=600km的圆形轨道上，如图所示，为使其进入r=104km的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A点的速度于很短时间内增加0.646km/s，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B，再进入新的圆形轨道。问：卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度是多少？为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径R=6370km。 图12-5 解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由
3、质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即 R2 F=mg 2(R+x)式中x是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有 1 v2R2 m =mg(R+h)(R+h)2即 gR2 v= (R+h)2将R=6370km，h=600km，g=9.8m/s代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度 v1=7.553km/s 所以卫星在椭圆轨道上的A点的速度为 vA=7.553+0.646=8.199km/s 卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O，对地以O的矩等于零，所以卫星对地心O的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B的速度为vB，则有 rAvA=
4、rBvB 所以 vB=rA6370+600vA=8.199=5.715km/s rB104设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为v2，则 gR29.863702=6.306km/s v=r10422由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 DvB=v2-vB=0.591km/s 顺便指出，在式中令h0，就得到v=7.9km/s，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。 12-2 质点系动量矩定理 例1.质量为m1、半径为R的均质圆轮绕定轴O转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为m2的物块,试求物块的加
5、速度。均质圆 轮对于O轴的转动惯量为JO=m1R2。 12 2 图12-8 解:以整个系统为研究对象，先进行运动分析。设在图示瞬时，物块的速度为v，加速度为a，由运动学关系，圆轮的角速度为w=v/R， 因此系统的动量矩为 2 LO=-JOw-m2vR=-m1R12v1+m2vR=-m1+m2vR R2再进行受力分析。系统所受外力如图所示，其中m1g、m2g为主 动力，FOx、FOy为轴O处的约束力。 根据动量矩定理 有 dLO=mO(Fi(e) dt1dm1+m2vR2=-mgR -2dt即 -m1+m2Ra=-m2gR 12得物块的加速度 a=2m2g m1+2m2例2.高炉运送矿石的卷扬机
6、如图所示。已知鼓轮为均质圆盘，半径为R，重为P。在铅垂平面内绕水平轴O转动。小车和矿石总重为Q，作用在鼓轮上的力矩为M，轨道的倾角为a。绳的重量及各处 的摩擦忽略不计，求小车的加速度。均质圆盘对O轴的转动惯量 3 JO=1P2R。 2g图12-9 解：研究对象：小车及鼓轮系统。 系统所受的外力有：力矩M，重力P、Q，轴承反力XO、YO，轨道的反力N，这些力对转轴O的矩为 MO=mO(Fi(e)=-M+QsinaR-Qcosal-Nl 因为 N=Qcosa 所以 MO=-M+QsinaR 运动分析：设鼓轮绕O轴转动的角速度为w，小车作直线运动的速度为v，显然v=Rw，则系统对转轴O的动量矩为 L
7、O=-JOw+vR gQ将JO=v1P2R，w=代入上式得 R2g LO=-由质点系动量矩定理 得 1(P+2Q)Rv 2gdLO=MO dtd1-P+2QRv()=-M+QsinaR dt2g可解得小车的加速度 4 a=dv2(M-QRsina)=g dt(P+Q)R例3.水涡轮转子以匀角速w绕铅垂轴z转动，试求从涡轮叶片间流过的水流给涡轮机转子的转动力矩。 图12-10 解：设Q为单位时间内流过整个涡轮转子的水流的体积，即总流量。水流的质量密度为r，涡轮进口AB和出口DC处的半径分别为r1和vvr2，进口与出口处的水流的绝对速度分别为v1和v2，方向分别与轮缘切线方向成夹角a1和a2。 水
8、流作用在涡轮转子上的转矩与转子给水流的反力矩Mz大小相等而转向相反。 取两叶片之间的流体为研究的质点系。水在叶片中流运时，由于叶片的作用，质点系对转轴的动量矩将随时间而变化。 设在瞬时t，两叶片间的流体占有体积为ABCD。而在瞬时t+Dt，水流流至abcd，设水的流动是定常的，则公共容积abCD内流体的动量矩保持不变。因此，在Dt时间内两叶片之间流体动量矩的变化为 Dlz=(lz)abcd-(lz)ABCD =(lz)abCD+(lz)CDcd-(lz)ABab+(lz)abCD =(lz)CDcd-(lz)ABab 令两叶片间水的流量为q，则 Dlz=rqDt(v2r2cosa2)-rqDt
9、(v1r1cosa1) =rqDt(v2r2cosa2-v1r1cosa1) 可得到在Dt时间内流过整个涡轮转子的水流的动量矩变化为 5 DLz=Dlz=r(q)Dt(v2r2cosa2-v1r1cosa1) =rQDt(v2r2cosa2-v1r1cosa1) 水流受到的外力有重力和转子叶片的反力，其中重力与Oz平行，其力矩为零，故只有转子上叶片给水流的反力矩Mz。根据质点系动量矩定理 可得 Mz=dLzDL=limz=rQ(v2r2cosa2-v1r1cosa1) dtDt0DtdLz =Mzdt而水流作用在涡轮上的力矩 Mz=-Mz=rQ(v1r1cosa1-v2r2cosa2) 上式称
10、为欧拉涡轮方程。它表明在定常流动时，转矩只同进口与出口处水流的绝对速度有关。 例4.一半径为r，重为W1的均质水平圆形转台，可绕通过中心O并垂直于台面的铅直轴转动。重W2的物块A按规律s=at2/2沿台的边缘运动。开始时，圆台是静止的。求物块运动以后，圆台在任一瞬时 的角速度与角加速度。均质水平圆台对O轴的转动惯量为JO=1W12r。 2g图12-11 解：研究对象：转台及物块A质点系统 受力分析：转台重力W1，物块重W2，约束力XO，YO，对铅垂轴取矩和始终为零，质点系对转轴的动量矩守恒，即LO=常数，因系统初始静止，故有 LO=0 dsat2由s=对时间求导可得vr=at，设转台的角速度为
11、w，则由dt26 点的合成运动理论 va=ve+vr可得 va=at-wr 则任一瞬时系统对转轴的动量矩为 LO=则可得 w=2aW2t 2W+Wr(21)2aW22W+Wr(21)W21W12(at-wr)r-rw=0 g2g将上式对时间求导则可得转台角加速度 e=例5.均质鼓轮重P1，半径为R，对转轴的回转半径为r，在半径为r的轴颈上绕一不可伸长的细绳，绳端系一重为P2的重物，可变形的细绳简化一弹性刚度系数为k的弹簧绕于轮缘上，试列写系统的运 动微分方程。均质鼓轮对O轴的转动惯量为JO=P1r2。 g解：研究对象：整个系统。受力分析：如图所示，静止时系统处于平衡。运动分析：定轴转动+平动，
12、取鼓轮转角坐标j，并取系统静平衡时转角坐标j=0。设系统静平衡时鼓轮静转角为js，则由静平衡方程 mO(Fi)=0 kjsR2=P2r 再由质点系对固定轴的动量矩定理 图12-12 即有 dL0=mO(Fi(e) dt 7 整理为 P22dP221&r+rj=-kR(js+j)+P2r dtggPP1&+kR2j=0 r2+2r2jgg 为一单自由度无阻尼的振动方程。 12-3 刚体对轴的转动惯量.平行移轴定理 例3.如图所示的钟摆，已知均质细杆质量为m1，杆长为l，均质圆盘的质量m2，直径为d，图示位置时摆的角速度为w。试求摆对于通过O点的水平轴的动量矩。 图12-18 解：本题先用组合法计算摆对于水平轴O的转动惯量，即 JO=JO杆+JO盘 其中 JO杆=m1l2 而圆盘对于轴O的转动惯量JO盘可用平行轴定理计算 d1dd JO盘=JC盘+m2l+=m+m22l+ 222222 =m2d+l+ld 22得 JO=m1l2+m2d+l+ld 13383822213于是摆对于水平轴O的动量矩为 8 22 LO=JOw=m1l2+m2d+l+ldw 1338 例4 直径为R，质量为m的均质圆盘，
