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1、直线斜率的“隐性”应用对于数式结构与直线斜率有关的数学问题，可通过类比、联想，及借助直线斜率的几何意义，巧妙解决下面举例说明一、 用于证明不等式例1 已知均为正数，且，求证：分析：观察所证不等式的左边，结构与斜率公式很相似，显然此式可看作点与点的连线的斜率解：如图1，点在第一象限，且必位于直线的下方又，点在第三象限，且必在上连结，则，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，即有二、 用于求参数的取值范围例2已知线段的两个端点，若直线与线段相交，求实数的取值范围分析：采用数形结合的方法，因为直线恒过一个定点，并且斜率为，则直线应落在定点与的连线之间，从而得出斜率所取的范围，即可确定的取值范围解：如图2，恒
2、经过一定点，的斜率，的斜率若直线与线段相交，则故的取值范围是评注：数形结合是求直线与直线及直线与平面曲线位置关系问题的好方法，它直观简明，计算量小，是解答小题的首选方法，也是解答大题的重要方法三、 用于比较大小例3已知函数，且，则，的大小关系为（）分析：该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务的特点，由此联想到利用斜率进行求解解：作出函数的大致图象（图3）由图（3）可知，曲线上各点与原点连线的斜率随的增大而减小因为，所以故选（）四、 用于求点共线问题例4 如果三点在同一条直线上，试确定常数的值分析：如果三点在同一条直线上，则直线的斜率与直线的斜率相等解：由于三点所在直线不可能垂直于轴，因此设直线的斜率分别为由斜率公式，得，在同一条直线上，即解得，或评注：两直线的斜率相等，则三点共线；反过来，若三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时），或都不存在五、求函数最值例5已知实数满足，试求的最大值和最小值分析：利用的几何意义：连结定点与动点的直线的斜率，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化运算过程解：如图4，由的几何意义可知，它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率易知，由已知，可得，故的最大值是8，最小值是评注：巧妙利用斜率公式，借助数形结合直观求解，收到事半功倍的效果，此题还可利用后边所学内容，用代数的方法求解
