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1、第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为
2、周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有
3、意义时才满足f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(20xx西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y B.yexC.ycos x D.yexex解析A，B中显然为非奇非偶函数；C中ycos x为偶函数.D中函数定义域为R，又f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数.答案D3.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.答案B4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_.解析f(x)的周期为2，ff，又当1x0且a1，函数f(x)为奇函数，
4、则a_，g(f(2)_.解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，即a0120，a2；当x0时，x0，g(f(2)g221222.答案22考点一函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2x
5、x2xf(x)；当x0时，x3成立的x的取值范围为()A.(，1) B.(1，0)C.(0，1) D.(1，)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则f(x)_.解析(1)易知f(x)，由f(x)f(x)，得，即1a2x2xa，化简得a(12x)12x，所以a1，f(x)，由f(x)3，得0x1.(2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，则f(x)x24x(x0)，f(x)答案(1)C(2)考点三函数的周期性及其应用【例3】 (20xx四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
6、x1时，f(x)4x，则ff(2)_.解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x)在R上的周期为2，f(2)f(0)0.又fff42，ff(2)2.答案2规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.解析f(x4)f(x2)2f(x).故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题
7、意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案2.5考点四函数性质的综合运用【例4】 (1)(20xx山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x时，ff.则f(6)()A.2 B.1 C.0 D.2(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增.若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A.1，2 B.C. D.(0，2解析(1)当x时，由f(x)f(x)，得f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由题意知f(1)f(1)，且f(1)(1)312.因此f(6)f(1)2.(2)由yf(x)为偶函数，且f(log2a)f(loga)2
8、f(1).f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又f(log2a)f(|log2a|)且f(x)在0，)上递增，|log2a|11log2a1.解得a2.答案(1)D(2)C规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为()A.1 B.1 C.0 D.2(2)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m.则Mm_.解析(1)由题意，得g(x)f(
