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1、平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求、理解向量得概念,掌握向量得几何表示,了解共线向量得概念。2、掌握向量得加法与减法得运算法则及运算律。 3、掌握实数与向量得积得运算法则及运算律,理解两个向量共线得充要条件。4、了解平面向量基本定理 ,理解平面向量得坐标得概念,掌握平面向量得坐标运算。、掌握平面向量得数量积及其几何意义,了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题,掌握向量垂直得条件、掌握线段得定比分点与中点坐标公式 ,并且能熟练运用;掌握平移公式、7、掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形得应用得教学,继续提高运用所学知识解决实
2、际问题得能力。3、热点分析对本章内容得考查主要分以下三类:1。以选择、填空题型考查本章得基本概念与性质。此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2。以解答题考查圆锥曲线中得典型问题、此类题综合性比较强,难度大 ,以解析几何中得常规题为主、。向量在空间中得应用(在 B 类教材中 ). 在空间坐标系下,通过向量得坐标得表示,运用计算得方法研究三维空间几何图形得性质、在复习过程中,抓住源于课本,高于课本得指导方针。本章考题大多数就是课本得变式题,即源于课本。因此掌握双基、精通课本就是本章关键、分析近几年来得高考试题,有关平面向量部分突出考查了向量得基本运算。对于与解析
3、几何相关得线段得定比分点与平移等交叉内容,作为学习解析几何得基本工具,在相关内容中会进行考查。本章得另一部分就是解斜三角形,它就是考查得重点。总而言之,平面向量这一章得学习应立足基础,强化运算 ,重视应用。考查得重点就是基础知识与基本技能。,4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决得问题也分为两类:一类就是根据向量得概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中得一些计算与证明问题;另一类就是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达得两点间得距离问题。在解决关于向量问题时,一就是要善于运用向量得平移、伸缩、合成
4、、分解等变换 ,正确地进行向量得各种运算 ,进一步加深对“向量 这一二维性得量得本质得认识,并体会用向量处理问题得优越性。二就是向量得坐标运算体现了数与形互相转化与密切结合得思想,所以要通过向量法与坐标法得运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上得作用。在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面得应用,另一方面要体会解斜三角形就是重要得测量手段,通过学习提高解决实际问题得能力。二、常见题型分类题型一 :向量得有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充分理解平面向量得相关概念,熟练掌握向量得坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直得充要条件。例 1:已知a
5、 就是以点A(3,)为起点,且与向量 = (,4)平行得单位向量,则向量a 得终点坐标就是、思路分析 :与 平行得单位向量 方法一 :设向量 a 得终点坐标就是( ,y),则 a=(x ,y+1), 则题意可知,故填(, )或 (, )方法二与向量b = ( 3,4)平行得单位向量就是(-3, ), 故可得a (-,), 从而向量 得终点坐标就是( x,y)a-(3,- ),便可得结果。点评 : 向量得概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念得实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例 :已知a|=1,| b |=1,a 与b 得夹角为, =2a,y= ,
6、则x 与y 得夹角得余弦就是多少?思路分析 :要计算 x 与得夹角 ,需求出 |x , y ,x y 得值。计算时要注意计算得准确性。解 :由已知 |a= b = , 与 b 得夹角 为 60 ,得 ab=|a | cos=、要计算 x 与 得夹角 ,需求出 |x, |,x y 得值 . |2=x2 =(2ab) 2=4 24 b+b2=4-4 +1=3, 2 = 2(3b a)2=9b2-6 a+2=9-6 +1 7。 (2a b) (3b a) 6 b a 3b2 + b=7a b- a2 3b =7 2-3=-,又 x y |x| y|cos,即 = os, co点评 : 本题利用模得性
7、质a=a,在计算,y得模时 ,还可以借助向量加法、减法得几何意义获得:如图所示,设=b, =, =2a, AC=0。由向量减法得几何意义,得 = =2 b、由余弦定理易得|=,即 |x|=,同理可得y=。题型二:向量共线与垂直条件得考查例 1。 平面直角坐标系中,O 为坐标原点 ,已知两点 (3, ),B( 1, ), 若点 C 满足 ,其中 , R 且 ,求点 C得轨迹方程。、解 :(法一 )设 C(,),则=( x,y),由=( x,)= ( ,1)+( ,3)=(3 , +3 ) ,(可从中解出、)又 +=消去 、 得x+2 0(法二 )利用向量得几何运算,考虑定比分点公式得向量形式,结
8、合条件知:A,B,C三点共线,故点C 得轨迹方程即为直线 A 得方程 +2y- 0,例 2、已知平面向量 a (, ),b=(, ) 。 (1) 若存在实数 k 与 t,便得 x=+( t2-3)b, y=-ka+tb,且 xy,试求函数得关系式 k f( );( ) 根据 ( )得结论 ,确定 k=f(t) 得单调区间 .思路分析 :欲求函数关系式 =f(t), 只需找到与 t 之间得等量关系 ,k 与 t 之间得等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？ (导数法、定义法 )导数法就是求单调区间得简捷有效得方法？解 :(1)法一 :由题意知 x (,),y (tk,t+k), 又 x 故
9、 x y=(t-k)+ ( )。整理得 : 3t k 0,即 t 、法二 : (, ), =(, ),。2, 1 且 a b x y,x y=0,即 -k2+t(t 2 3)2=0, t -3 - k 0,即 =t 3-t(2) 由 (1) 知: f(t) =t t f (t) t3 ,令 k 0得 -1 1;令 k得 -或 t 1。故 k=f(t) 得单调递减区间就是 ( 1, ),单调递增区间就是( ,- )与 (1, ).点评 : 第 (1) 问中两种解法就是解决向量垂直得两种常见得方法: 一就是先利用向量得坐标运算分别求得两个向量得坐标,再利用向量垂直得充要条件; 二就是直接利用向量垂
10、直得充要条件,其过程要用到向量得数量积公式及求模公式 ,达到同样得求解目得(但运算过程大大简化 ,值得注意 )。第 (2) 问中求函数得极值运用得就是求导得方法 ,这就是新旧知识交汇点处得综合运用。例 3: 已知平面向量 =(, ),=(,), 若存在不为零得实数k 与角 ,使向量 ( in ), = k ( n ),且 ,试求实数 k得取值范围。解 :由条件可得 :k ( sin -) ,而 1sin 1,当 s -1 时,取最大值 1;sin =时 ,k 取最小值 .又 k 0得取值范围为。点拨与提示 :将例题中得略加改动,旧题新掘 ,出现了意想不到得效果 ,很好地考查了向量与三角函数、
11、不等式综合运用能力、例 :已知向量 ,若正数与t 使得向量垂直 ,求 k 得最小值、解 : , |=,|=-, 代入上式 k+当且仅当 t=, 即 t=1 时 ,取“ =”号 ,即得最小值就是。题型三 :向量得坐标运算与三角函数得考查向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识得“交汇处”构题,又加强了对双基得考查。例 7.设函数 f ( x)=ab,其中向量 a=( osx, 1), b (c sx,si2x),x R.(1) 若 f( x) 1且 x ,求 x;(2)若函数 y=sin2x 得图象按向量 =(m , n) ( )平移后得到函数y ( x)得图象 ,求实数 m、 n 得值、思路分析:本题主要考查平面向量得概念与计算、平移公式以及三角函数得恒等变换等基本技能,解 : ( )依题设 , (x)=(2 osx, ) (cos,sn x) 2co2x si x=1+ sin( x ) 由 2 i (2x+)= ,得 s n(2x+) . x , 2 + , 2x, 即 -、(2)函数y=2si 2x 得图象按向量c (m ,n) 平移后得到函数y= si 2(x m)+ 得图象,即函数y= ()得图象。由 (1)得f()= , m=,n=1。点评 :把函数得图像按向量平移
