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1、正方形内套45专题训练四十问已知正方形ABCD，AB=6，点P在对角线BD上，AP交DC于G，PHDC，PEPA交BC于E，PFBC，垂足为F点，连结EG交PF于N，连结AN交PE于M，EKBD于K，连结AE交BD于Q点。第一问求证：PAE是等腰直角三角形；方法一：在四边形ABEP中，ABE=APE=90，即ABE+APE=180，由此可知A、B、E、P四点共圆.故AEP=ABD=45，所以PAE是等腰直角三角形。方法二：根据对称性知AP=CP，PAB=PCB.在四边形ABEP中，ABE=APE=90，即PAB+PEB=180，又PEB+PEC=180，所以PAB=PEC，故PEC=PCB，P
2、E=PC，AP=PE.又APE=90，所以PAE是等腰直角三角形。方法三：过P做PI垂直AB，垂足为I，易知四边形IBFP为正方形.由APE=IPF=90可得API=EPF.又PI=PF，故RtAIPRtEFP，从而AP=EP.所以PAE是等腰直角三角形。第二问求证：EF=FC；简证：由第一问方法二可知EP=CP.又PFBC，故EF=FC（“三线合一”）。第三问求证：PB-PD=BE；简证：PB=BF，PD=PH=FC=EF，故PB-PD=（BF-EF）=BE。第四问求证：EG=EB+DG；简证：由第一问可知EAP=45，即BAE+GAD=45.在CB的延长线上取一点G，使BG=DG.易知Rt
3、ABGRtADG，即GAB=GAD，AG=AG.所以GAE=GAB+BAE=GAD+BAE=45.在GAE和GAE中，AG=AG，GAE=GAE=45,AE=AE即GAEGAE，从而EG=EG=EB+BG=EB+DG。第五问求证：BC+BE=BP；简证：由第二问可知EF=FC，故BC+BE=2BF.又BP=BF，即BP=2BF，所以BC+BE=BP。第六问求证：GA平分DGE；简证：由第四问可知AGE=AGE=AGD,故GA平分DGE。第七问求证：A到EG的距离为定值；方法一：过点A作EG的垂线，垂足为N.由第六问可知GA平分DGE，即AGN=AGD，故RtAGNRtAGD,所以AN=AD=6
4、，即A到EG的距离为6（定值）。方法二：令A到EG的距离为h，BE=x，DG=y.由等面积法，得，即由勾股定理，得，即故。第八问求证：EFN的周长为定值；简证：由第二问可知F为EC的中点，所以由第四问可知EG=BE+DG，故所以。第九问求证：FH=AP；简证：由第一问可知AP=CP.又四边形PFCG为矩形，所以FH=CP，故FH=AP。第十问求证：BAE=BPE；简证：由第一问可知QEP=45，又ABQ=45，在AQB和PQE中，AQB=PQE，QEPABQ=45，所以BAE=BPE。第十一问求证：APB=AEG；简证：同理第十问，得APB=AEB.由第四问，可知AEB=AEG，故APB=AE
5、G。第十二问求证：DGE=2AQD；简证：同理（10），得AQD=AGD.又由（6）可知DGE=2AGD.故DGE=2AQD。第十三问求证：PQ2=BQ2+PD2；简证：将ABQ沿AQ翻折，点B的对应点为B，并连接AB、PB.BAQ=BAQ，BAQ+BAP=45，BAQ+DAP=45，即BAP=DAP.又AB=AB=AD,故BAPDAP.从而ABP=ADP=45，PD=PB.又ABQ=ABQ=45，BQ=QB.所以，QBP=90,PQ2=QB2+PB2=BQ2+PD2。第十四问求证：AB=PK；方法一：连接AC，易知ACBD，交点为O.PAO+APO=90，EPK+APO=90.故PAO=EP
6、K.由第一问可知，AP=PE，即RtPAORtEPK,得PK=AO.易知AB=AO,所以AB=PK.方法二：KP=BD-(BK+PD)=BD-(BE+PH)=BD-(BE+)=BD-(BE+EC)=BD-BC=AB-AB=AB，故AB=PK。第十五问若BE=2,求PF；简解：由BE=2，BC=6,得EF=FC=2，PF=4,所以，PF=BF=4。第十六问若EPF=22.5，求PF；简解：因为EPF=22.5，所以PEF=67.5.易知PAB=PEF,故PAB=67.5.又ABP=45，故APB=67.5.所以，BP=AB=6.又BP=PF,从而，PF=BP=6=。第十七问若PEC为等边三角形，求PD的长；简解：因为PEC为等边三角形，所以PCH=30.令PH=x，则HC=x，PD=,DH=.又PH=DH，所以x=，即x=.故PD=。第十八问若SABE=6,求SECG；简解：因为SABE=6，AB=6,所以BE=2,EC=4.由第四问可知EG=EB+DG.令DG=x，得EG=2+x，GC=6-x，在RtECG中，根据勾股定理，得（2+x）2=42+（6-x）2，即x=3.所以，DG=3，GC=6-x=3.故SECG=。第十九问若ANEG,求PD；简解：由ANEG,易知EGBD,ANBD,EAB=EAN=GAN=GAD=22.5，
