概率论与数理统计(二)

上传人:壹****1 文档编号:506447002 上传时间:2024-01-01 格式:DOC 页数:26 大小:1.43MB
返回 下载 相关 举报
概率论与数理统计(二)_第1页
第1页 / 共26页
概率论与数理统计(二)_第2页
第2页 / 共26页
概率论与数理统计(二)_第3页
第3页 / 共26页
概率论与数理统计(二)_第4页
第4页 / 共26页
概率论与数理统计(二)_第5页
第5页 / 共26页
点击查看更多>>
资源描述

《概率论与数理统计(二)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计(二)(26页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。

1、内容串讲第一章 随机事件及其概率1 事件的关系与运算必然事件:随机实验所有成果构成的集合。不也许事件: 一般事件:若A、B为两事件 若,则其蕴含:“发生导致发生”。若,这表达发生时,B必不发生,反之亦然。若 -B=,则AB=;若 ABA,则;若AB,则。若为n个事件,由它们的运算可产生诸多新事件,如等等。例1 事件发生等于“至少有1个发生”。2.常用概率公式(1),,(2)若,则();当,则()(5)(6)若两两互不相容,则()若互相独立,则例2 设则 3古典概型古典概型:当随机实验的成果为有限个且诸成果等也许发生时,任一事件A的概率为例3 从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球,设A:

2、取到两个白球;B:一白一红球,求(1)无放回抽样:(2)有放回抽样:每次有放回的取一球,连取两次注:若设为两次有放回取球中取到白球数,则,从而4条件概率()若,则,其中A为任一事件。(2)乘法公式: (其中)例4 箱中有两白球、三红球,表第次取到白球,则(“前两次取到白球”)P(“第一次取到白球,第二次取到红球”)()全概率公式:设是一完备事件组(或的一种划分),即:,(即诸互不相容)且,则对任一事件A有(4)Bayes公式 例5 某工厂生产的产品以10个为一批,在进行抽样检查时,只从每批中抽取个来检查,如果发现其中有次品,则觉得这批产品是不合格的,设每批产品中的次品最多不超过个,并且恰有个次

3、品的概率如下()求各批产品通过的概率;(2)求通过检查的各批产品中恰有个次品的概率。解:(1)设事件是恰有个次品的一批产品,则由题设设事件A是这批产品通过检查,即抽样检查的10个产品都是合格品,则我们有由全概率公式,即得(2)由Bayes公式,所求概率分别为事件的独立性(1)定义:A、B互相独立等价于(2)若互相独立,则有()有放回抽样中的诸事件是互相独立的。例6 袋中有3白球,2个红球,今有放回的抽取次,求先后抽到(白、红、白)的概率解:设表第次抽到的白球,则所求为(4)在重贝努利(enoulli)实验中,若每次实验事件发生的概率为,即,则事件A发生次的概率为例7 一射手对同一目的独立射击4

4、次,每次射击的命中率为0.,求:(1)正好命中两次的概率;(2)至少命中一次的概率。解:由于每次射击互相独立,故本题可视为的贝努利实验,其中(1)设:“次射击恰命中两次”,则(2)设B:“4次射击中至少命中一次”,表“4次皆未命中”,则第二章 随机变量及其概率分布1 离散型随机变量例1 设 ,则2常用离散型随机变量(1)01分布:设,则应用背景:一次抽样中,某事件A发生的次数,其中例2 设某射手的命中率为p,X为其一次射击中击中目的的次数,则(2)二项分布:设X,则应用背景:n次独立反复抽样中某事件发生的次数X,其中为事件A在一次抽样中发生的概率。例某射手的命中率为0.,X为其次射击中命中目的

5、的次数,则X取的也许值为,,即X记住:若X,则,(3)泊松(Poisson)分布若则称服从参数的泊松分布,且,记X,应用背景:偶尔性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布,如某地的降雨的次数,车祸发生的次数等等。此外,当Y,且n很大,P很小时,令,则例4 一种工厂生产的产品中的次品率0.05,任取1000件,计算解:设X表任取的100件产品中的次品数,则,由于n很大,很小,令则(1)(2)3.随机变量的分布函数:X的分布函数为,的性质:若,则,例5 设X的分布函数,其中,则b=_解:由知(由于)由,及题设时,故综上有,即例6 设X的分布函数求解:4 持续型随机变量若,其中任意,则称为持续型

6、随机变量。此时,;其中 为X的概率密度,满足(注意与分布律的性质:相对照)例7 设的概率密度为,则c=_解:由知,故常用持续型随机变量(1)均匀分布:设X,则,例 设X,且,则a=_解:易知且,即 解得()指数分布设,则,应用背景:描述电子元件,某类动物的寿命,或服务时间等。例设X为某类电子元件的寿命,求此类元件已经使用t时,仍能正常工作的概率(设X)解:由题意所求为(3)正态分布,设,则,特别,当时,称服从原则正态分布,其密度函数记为分布函数记为常用公式:若,则, *若,则.简朴随机变量函娄的概率分布例1 设 ,求的概率分布。解:由题设,的也许值为,故的也许值为而故例1 设X,求的分布密度函

7、数解:先求的分布函数:,当;当时再求Y的分布密度函数 故第三章 多维随机变量及其概率分布1 二维随机变量的分布函数X的分布函数Y的分布函数2 离散型的分布律 (与比较)例1设的分布律为求()(2)()(4)(5)解:(1)由知解得(2)(3)(4) (5)3 持续型的分布密度 设D为平面上的区域,为的分布密度,则其满足:特别,若X,Y互相独立,则有,其中分别为X的边沿分布函数和分布密度,分别为Y的边沿分布函数和分布密度。常用二维持续型分布(1)平面区域D上的均匀分布:设的面积为,服从D的均匀分布,则的分布密度为例 设,即为y平面上的单位园域,则,设服从上的均匀分布,则其 *解:设具有D上的均匀

8、分布,A为平面上的某一区域,则,其中表达A与公共部分的面积。例3 (续例2)求解:(2)二维正态分布 ,设具有该分布,则其概率密度为此时X的边沿密度,即故的边沿密度,即,故,为,的有关系数,可知当时,即X,Y互相独立,这是一种重要结论:在正态分布的场合:不有关等价于互相独立。此外,可知 例4 设X,两者互相独立,求的分布密度解:由互相独立知 第四章 随机变量的数字特性1 单个随机变量的盼望例1 设 ,则例2 设的分布密度为,则2 单个随机变量函数的盼望设为随机变量,是一般函数,则是随机变量,且 *例 设X的分布如例1,求的盼望解:例4 设X的分布密度如例,求的盼望解:当(其中)时,,即为的方差

9、例设则 ,(方差大者,取值分散)注:是重要常用公式例5 设随机变量具有概率密度,求DX解:因是分段函数,故求时也要随之分段积分于是函数的盼望设是一般函数,则是随机变量,其数学盼望EZ等于例6 设分布律为 ,则例7 设的分布密度,则 当时,其中,则是,Y的协方差,即 (重点)当时,其中为X,Y的有关系数盼望的重要性质(1) (常数)(2)(3) 推广:(4)若X,Y互相独立,则方差的重要性质(1),其中c为常数(2)特别()若X,互相独立,则 (4)例设X,互相独立,且,则协方差的运算性质:()(2),其中a,为常数(3)()若X,Y互相独立,则,从而,即与不有关注:一般地,若,Y独立,则X,必

10、不有关(即);反之不真,即,不有关推不出X,Y独立。重要特例是:若为正态分布,则X,独立等价于X,Y不有关(即)例9 设的分布律为 ,求解:易知 故,, , *例 设,则*例11 设为持续型,则X与不有关的充足必要条件是_(选择题)(A)X,Y独立 (B) (C)()解法1(排除法):排除(A),因,Y独立不有关(故非充要条件);排除(B),这一等式成立不需任何条件;排除(D),由服从正态分布及知,Y独立,从而不有关,但并非正态场合才有这一结论故选(C)解法2(直接证明):当时,故,Y不有关;反之亦然。 第五章 大数定律与中心极限定理1 贝努利大数定律贝努利大数定律:设,为在n次观测中发生的频

11、率,则对任给的正数有2 中心极限定理设互相独立,同分布,从而它们有相似的盼望和相似的方差,其中为原则正态分布函数注:中心极限定理的含义是:大量随机变量的和近似正态分布,即当很大时近似某正态分布,为了便于查表近似计算,将原则化(从而原则化后其近似分布)故上述随机变量的分布函数,即在应用中心极限定理,大多用上式的形式更进一步的特别场合为:若互相独立同分布时,上式化为这一式子在应用也较为常用例1 计算机进行加法计算时,设所取整误差是互相独立的随机变量,且都服从,求30个数相加的误差总和的绝对值不不小于10的概率。解:易知第i个加数的误差满足:,,故故所第六章 记录量及其抽样分布.设总体则其样本互相独立,同分布,n为样本容量从而 例1 设总体X,则从而其样本的联合密度函数为2.常用记录量常用记录量:设总体为X,为其样本,不含任何未知参数的样本的函数称为记录量(1)样本均值,,,这结论对任何总体都成立。进一步的,若总体X,则,从而(2)样本方差,(3)若总体X,则有与互相独立,且 *(4)若总体X与总体Y互相独立,与分别为其样本,X,,其中,则进一步的,若,则有其中3.有关分布的密度曲线及分位数()分布若,则,从而而F分布的密度曲线与上图相似。(2)分布若,则t分布的密度曲线有关y轴对称,故有

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 办公文档 > 活动策划

电脑版 |金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号