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1、内容串讲第一章 随机事件及其概率1 事件的关系与运算必然事件：随机实验所有成果构成的集合。不也许事件： 一般事件:若A、B为两事件 若，则其蕴含:“发生导致发生”。若，这表达发生时，B必不发生，反之亦然。若 -B=,则AB=；若 ABA，则；若AB,则。若为n个事件,由它们的运算可产生诸多新事件，如等等。例1 事件发生等于“至少有1个发生”。2.常用概率公式(1）,，(2）若，则()；当,则(）（5）(6)若两两互不相容，则()若互相独立,则例2 设则 3古典概型古典概型：当随机实验的成果为有限个且诸成果等也许发生时,任一事件A的概率为例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球,设A：
2、取到两个白球;B：一白一红球，求(1）无放回抽样：(2)有放回抽样：每次有放回的取一球,连取两次注:若设为两次有放回取球中取到白球数,则,从而4条件概率（)若，则，其中A为任一事件。（2)乘法公式： （其中）例4 箱中有两白球、三红球，表第次取到白球,则(“前两次取到白球”)P（“第一次取到白球,第二次取到红球”）（）全概率公式：设是一完备事件组(或的一种划分），即：,（即诸互不相容）且，则对任一事件A有（4）Bayes公式 例5 某工厂生产的产品以10个为一批，在进行抽样检查时,只从每批中抽取个来检查，如果发现其中有次品,则觉得这批产品是不合格的,设每批产品中的次品最多不超过个，并且恰有个次
3、品的概率如下（）求各批产品通过的概率;（2)求通过检查的各批产品中恰有个次品的概率。解：（1)设事件是恰有个次品的一批产品，则由题设设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有由全概率公式，即得（2)由Bayes公式，所求概率分别为事件的独立性（1）定义：A、B互相独立等价于(2)若互相独立,则有（)有放回抽样中的诸事件是互相独立的。例6 袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取次，求先后抽到（白、红、白）的概率解:设表第次抽到的白球,则所求为(4）在重贝努利（enoulli)实验中,若每次实验事件发生的概率为，即，则事件A发生次的概率为例7 一射手对同一目的独立射击4
4、次,每次射击的命中率为0.，求:(1)正好命中两次的概率;（2）至少命中一次的概率。解:由于每次射击互相独立，故本题可视为的贝努利实验，其中（1）设：“次射击恰命中两次”，则（2）设B：“4次射击中至少命中一次”,表“4次皆未命中”,则第二章 随机变量及其概率分布1 离散型随机变量例1 设 ,则2常用离散型随机变量(1)01分布：设，则应用背景:一次抽样中,某事件A发生的次数,其中例2 设某射手的命中率为p,X为其一次射击中击中目的的次数，则(2)二项分布:设X，则应用背景:n次独立反复抽样中某事件发生的次数X，其中为事件A在一次抽样中发生的概率。例某射手的命中率为0.，X为其次射击中命中目的
5、的次数,则X取的也许值为，,即X记住:若X，则,(3）泊松（Poisson)分布若则称服从参数的泊松分布，且，记X,应用背景：偶尔性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数,车祸发生的次数等等。此外，当Y，且n很大,P很小时，令，则例4 一种工厂生产的产品中的次品率0.05,任取1000件，计算解：设X表任取的100件产品中的次品数，则,由于n很大，很小，令则（1）(2)3.随机变量的分布函数:X的分布函数为，的性质:若,则,例5 设X的分布函数，其中，则b=_解：由知(由于）由,及题设时，故综上有，即例6 设X的分布函数求解:4 持续型随机变量若，其中任意，则称为持续型
6、随机变量。此时，;其中 为X的概率密度，满足（注意与分布律的性质:相对照)例7 设的概率密度为,则c=_解：由知,故常用持续型随机变量(1）均匀分布：设X，则，例 设X，且，则a=_解:易知且,即 解得（）指数分布设，则，应用背景:描述电子元件,某类动物的寿命,或服务时间等。例设X为某类电子元件的寿命,求此类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率(设X）解：由题意所求为（3)正态分布,设,则，特别，当时，称服从原则正态分布,其密度函数记为分布函数记为常用公式:若，则， *若,则.简朴随机变量函娄的概率分布例1 设 ，求的概率分布。解：由题设，的也许值为,故的也许值为而故例1 设X,求的分布密度函
7、数解:先求的分布函数：，当;当时再求Y的分布密度函数 故第三章 多维随机变量及其概率分布1 二维随机变量的分布函数X的分布函数Y的分布函数2 离散型的分布律 （与比较）例1设的分布律为求（）(2）()(4）(5)解:（1）由知解得（2）(3)(4) （5）3 持续型的分布密度 设D为平面上的区域,为的分布密度,则其满足：特别，若X，Y互相独立,则有,其中分别为X的边沿分布函数和分布密度，分别为Y的边沿分布函数和分布密度。常用二维持续型分布(1）平面区域D上的均匀分布:设的面积为,服从D的均匀分布,则的分布密度为例 设，即为y平面上的单位园域,则,设服从上的均匀分布,则其 *解：设具有D上的均匀
8、分布,A为平面上的某一区域,则,其中表达A与公共部分的面积。例3 （续例2）求解：(2）二维正态分布 ，设具有该分布，则其概率密度为此时X的边沿密度,即故的边沿密度，即,故,为，的有关系数,可知当时，即X,Y互相独立，这是一种重要结论:在正态分布的场合:不有关等价于互相独立。此外，可知 例4 设X,两者互相独立,求的分布密度解:由互相独立知 第四章 随机变量的数字特性1 单个随机变量的盼望例1 设 ，则例2 设的分布密度为,则2 单个随机变量函数的盼望设为随机变量,是一般函数，则是随机变量,且 *例 设X的分布如例1,求的盼望解：例4 设X的分布密度如例,求的盼望解:当(其中）时，,即为的方差
9、例设则 ，(方差大者，取值分散）注:是重要常用公式例5 设随机变量具有概率密度，求DX解:因是分段函数,故求时也要随之分段积分于是函数的盼望设是一般函数,则是随机变量，其数学盼望EZ等于例6 设分布律为 ，则例7 设的分布密度，则 当时,其中,则是,Y的协方差,即 （重点)当时，其中为X，Y的有关系数盼望的重要性质(1） （常数)(2）（3） 推广:(4）若X，Y互相独立,则方差的重要性质（1），其中c为常数（2)特别()若X,互相独立，则 (4)例设X,互相独立，且,则协方差的运算性质：()（2）,其中a,为常数（3)（）若X，Y互相独立，则,从而，即与不有关注：一般地,若，Y独立，则X，必
10、不有关(即）;反之不真,即,不有关推不出X,Y独立。重要特例是:若为正态分布,则X,独立等价于X,Y不有关（即)例9 设的分布律为 ，求解:易知 故,， , *例 设,则*例11 设为持续型,则X与不有关的充足必要条件是_(选择题)（A）X,Y独立 (B） (C)(）解法1(排除法）：排除(A）,因,Y独立不有关(故非充要条件)；排除(B),这一等式成立不需任何条件;排除（D），由服从正态分布及知,Y独立,从而不有关,但并非正态场合才有这一结论故选(C）解法2（直接证明）：当时，故,Y不有关;反之亦然。 第五章 大数定律与中心极限定理1 贝努利大数定律贝努利大数定律：设,为在n次观测中发生的频
11、率,则对任给的正数有2 中心极限定理设互相独立，同分布,从而它们有相似的盼望和相似的方差,其中为原则正态分布函数注：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布,即当很大时近似某正态分布,为了便于查表近似计算,将原则化(从而原则化后其近似分布)故上述随机变量的分布函数,即在应用中心极限定理,大多用上式的形式更进一步的特别场合为：若互相独立同分布时,上式化为这一式子在应用也较为常用例1 计算机进行加法计算时,设所取整误差是互相独立的随机变量,且都服从,求30个数相加的误差总和的绝对值不不小于10的概率。解：易知第i个加数的误差满足：，,故故所第六章 记录量及其抽样分布.设总体则其样本互相独立，同分布,n为样本容量从而 例1 设总体X，则从而其样本的联合密度函数为2.常用记录量常用记录量:设总体为X，为其样本，不含任何未知参数的样本的函数称为记录量(1)样本均值,，,这结论对任何总体都成立。进一步的,若总体X,则,从而(2）样本方差，（3）若总体X,则有与互相独立，且 *（4）若总体X与总体Y互相独立，与分别为其样本,X,，其中,则进一步的,若，则有其中3.有关分布的密度曲线及分位数(）分布若，则，从而而F分布的密度曲线与上图相似。（2)分布若,则t分布的密度曲线有关y轴对称,故有
