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1、个性化辅导教案科目课题数学授课老师学生姓名有理数的有关知识年级奥数教学目标重点难点教学过程（内容）：数学讲义一、知识要点1、绝对值x的绝对值x的意义如下：x=x，如果x0-x，如果x0x是一个非负数，当且仅当x=0时，x=0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：a-b表示数轴上a点到b点的距离。2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。二、例题精讲例1化简2x+1-x-3+x-6分析：由2x+1=0、x-3=0、x
2、-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0分别求得：x=-1/2，x=3，x=6当x-12时，原式=-(2x+1)+(x-3)-(x-6)=-2x+2当-12x3时，原式=(2x+1)+(x-3)-(x-6)=2x+4原式=10，当3x6时，原式=(2x+1)-(x-3)-(x-6)=10当x6时，原式=(2x+1)-(x-3)+(x-6)=2x-2-2x+2，当x-1时22x+4，当-1x3时2当3x6时2x-2，当x6时评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。第1页
3、例2已知2x-1-1x-，求x-1-x+3的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题)5-3x32分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。解：解不等式2x-15-3x7-1x-得：x3211取得最大值4，因x71-x+x+3=4，1-x-x-3=-2-2x，当-3x711x-1-x+3的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x-3时这差73，则当x=时这差取得最小值-3.111111评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将x-1-x+3化简，然后求出最大值和最小值。当x-
4、3时x-1-x+3=71173由上式可以看出：当x-3时取得最大值4，当x=时取得最小值-31111例3解方程x-x-3.1415926+y+118-2y-7.13=011y+-2y-7.13=0(2)8(第六届华杯赛决赛初一试题)分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。解：由原方程得x-x-3.1415926=0(1)由(1)得：x=x-3.1415926从而x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963由(2)得：y+118=2y-7.13=2y-7.13或y+=7.13-y从而y+11118817011151所以y=或y=200600x=1.
5、5707963x=1.5707963于是，原方程的解是y=1701y=1151200600评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求第2页x=x-3.1415926中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，x=x-3.1415926表示x到原点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963例4有理数a,b,c均不为0，且a+b+c=0.设x=|a|b|c|+|,试求代数式x19+99x+2019b+cc+aa+b之值。(第11届希望杯培训题)分析：要求代数式x19+99x+2019的值，必须求出x
6、的值。根据x的特征和已知条件，分析a与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。解：由a,b,c均不为0，知b+c,c+a,a+b均不为0a+b+c=0.a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b).即abc=-1,=-1,=-1,b+cc+aa+b又a,b,c中不能全同号，故必一正二负或一负二正所以|a|b|c|,b+cc+aa+b中必有两个同号，即其值为两个1，一个1或两个1，一个1|a|b|c|a|b|c|+=1,x=+=1.b+cc+aa+bb+cc+aa+b因此，x19-99x+2000=1-99+2000=1902.=，=，=例5已知a、b、c为实数，且ab1b
7、c1ca1a+b3b+c4c+a5求abcab+bc+ca的值。(第8届希望杯试题)+=3，+=4，+=5分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。解：由已知条件可知a0，b0，c0，对已知三式取倒数得：111111abbcca111三式相加除以2得：+=6abc因为ab+bc+ca111abc1=+=6，所以=abcabcab+bc+ca6例6求方程x-2+x-3=1的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)分析：1可以化成：(x-2)-(x-3)，于是x-2+x-3=(x-2)-(x-3)由绝对值的性质：若ab0，则a+b=a-b可得
8、(x-2)(x-3)0从而求得x解：原方程可化为：x-2+x-3=(x-2)-(x-3)则(x-2)(x-3)0，所以x-20x-30因此原方程有无数多个解。x-20或，所以2x3x-30第3页评注：本题很巧妙地将“1”代换成(x-2)-(x-3)，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。例7求关于x的方程x-2-1-a=0(0a1)的所有解的和。解：由原方程得x-2-1=a，x-2-1=a0a1，x-2=1a，即x-2=(1a),x=2(1a),从而，x1=3+a，x2=3-a，x3=1+a，x4=1-ax1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为8=a，
9、且a0，求例8已知：xx2x2+x+1x4+x2+1的值。分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生x+11，通过将x+整体处理来求值。xx=a，且a0，=解：xx2+x+11x2+x+1xa即x+1+1x4+x2+11121-a21111-a=x+=-1=xaxaa而=x2+1+=x+-1=-1=xx2x2a1-2aa2x2a2=x4+x2+11-2a评注：本题通过将x+1x整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。x=1+z22x2例9解方程组y=(1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题)1+x2(2)(1)+(2)+(3)得：+=3+=1+y2z2z=2y21+y
