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1、对数函数教案 32（3）（新人教 A 版 必修 1）数学 1第 2章第 2.2 节（对数函数及其性质）第 3课时教学 设计教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关 知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结 合、综合性较强、考查也比较深刻。2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学 生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的，是对 上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认 识与理解。3、对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工 具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。4、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、 系
2、统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。5、本节课内容为反函数知识，应重视数学知识之间的内在 联系，突出对数函数是现实世界中的重要数学模型。 教学设计：教学目标：知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对 称统一教学重点：难两种函数的内在联系，反函数的概念 教学难点：反函数的概念教学程序与环节设计：教学过程与操作设计：环节呈现教学材料 师生互动设计创设情境材料一： 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减， 大约每经过 5730
3、 年衰减为原来的一半，这个时间称为 半衰 期.根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数 t 之间的关系回答下列问题：(1) 求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P,并用函 数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何 种函数？(2) 已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡 的年数t，并用函数的观点来解释 P和t之间的关系，指出 是我们所学过的何种函数？( 3)这两个函数有什么特殊的关系？(4)用映射的观点来解释 P和t之间的对应关系是何种对应 关系？( 5)由此你能获得怎样的启示？ 生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果 师：引导学生分析归纳，总结概括得出
4、结论：(1)P和t之间的对应关系是对应；( 2) P 关于 t 是指数函数；t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关 系；( 3)本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一 种关系(碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系)的不同 数学模型材料二：由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量 与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指 数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对 应值表，如下：环节呈现教学材料 师生互动设计 表一 .-3-2-101231248.表二 .1248-3-2-10123.
5、在同一坐标系中，用描点法画出图象 生：仿照材料一分析：与的关系 师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念 铺垫: 当一个函数是一一映射时 , 可以把这个函数的因变量 作为一个新函数的自变量 , 而把这个函数的自变量新的函数 的因变量 . 我们称这两个函数为反函数（ inverse function ） 组织探究 材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一 个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数 的因变量，我们称这两个函数互为反函数 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反 函数如：函数与对数函数互为反函数 材料二：以与为例
6、研究互为反函数的两个函数的图象和性质 有什么特殊的联系？师：说明： （1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应 法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知 单调函数一定有反函数 ；(3) 互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量 关系的不同数学模型师：引导学生探索研究材料二 生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同 评析归纳尝试练习求下列函数的反函数：(1)；( 2)师生共练 f 小结步骤：解x ;习惯表示；定义域.巩固反思 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、 图象、性质作一小结.见附表 1：引申拓展1. (1)试着举几个满足对定义域内任意实
7、数a、b都有f(a b) = f ( a ) + f ( b ).的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？(2)试着举几个满足对定义域内任意实数a、b,都有f (a + b) = f ( a ) f ( b ).的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？ 环节呈现教学材料师生互动设计探究活动 我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么， 它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面 几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函 数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性 吗？问题 2 取图象上的几个点，说出它们
8、关于直线的对称点的 坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？问题3如果P0 (x0, y0)在函数的图象上，那么 P0关于直 线的对称点在函数的图象上吗，为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数，且及其反函数，且也成立吗？为什么？结论： 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称附表1：巩固练习：1. 求下列函数的反函数：y=(x R)； y= (a 0,a工1,x 0)2己知函数的图象过点( 1， 3)其反函数的图象过( 2， 0) 点，求的表达式 .归纳小结，强化思想：本节课的目的要求是在学习了指数函数与对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍
9、反函数的概念，可以 初步尝试求一个已知简单函数的反函数，但根据课程标准安 排应不作过多强调。（1）什么样的函数存在反函数？（2）原函数与反函数的图像与性质之间有怎样的关系？（ 3） 指数函数存在反函数吗？若指数函数存在反函数， 你能表示出它吗？本节内容（ 2.2.2 对数函数）的授课思路和重点：学对数想指数，反函数是桥梁，观图象想性质，细考察是根本， 用性质想解题，变形活是关键。课后作业：必做题： P75 A 组 12 题； B 组 2 题选做题： P75 B 组 3 题 .拓展题（选做）：1. 求下列函数的反函数： 2. 求的单调递增区间 .3. 已知在 0 ，1 上是的减函数，求的取值范围课外探究（选做）：求的反函数，并求出两个函数的定义域 与值域，通过对定义域与值域的比较，你能得出一些什么结论？设计说明：1. 本节课的目的要求是在学习了指数函数与对数函数后， 以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍反函数的概念， 对一般的反函数概念，教科书根据标准的要求没有作更 多的介绍，个人认为可以让有余力的学生初步尝试求一个已 知简单函数的反函数，但根据课程标准安排应不作过多强调2. 本节课是一节概念课，应该通过指数函数与对数函数的图 象进行类比发现结论，所以教学活动中应该体现数形结合的 数学思想。3. 本节课注重体现探究的过程，教者应该合理分配与安排探 究活动的环节。
