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1、2022-2023学年高二数学上学期段一考试(月考)试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列说法正确的是（ ）A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形【答案】C【解析】略2. 四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图，则在字母的投影中，与字母属同一种投影的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据平行投影和中心投影的特点和规律“L”、“K”与“
2、N”属中心投影；故选A3. 将图1所示正方体截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线如图B故选B考点：简单空间图形的三视图4. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：若,，则；若,，则若,，则；若,，则.其中正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】对于，若 ，根据面面平行的判定定理，如果直线 不相交，那么与
3、不一定平行；故错误； 对于，若 ,，则 则 与位置关系不确定（有可能在内）；故错误；对于，若,，则则 与位置关系不确定（有可能在内）；故错误； 对于， ,，则. ，则 与位置关系不确定（有可能在内）；故错误故选A5. 正方体中，分别是的中点，过三点的平面截正方体，则所得截面形状是（ ）A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对【答案】C【解析】连接 由正方体的性质得 则 在平面 中，平面 即为所得截面，即为过 三点的正方体 的截面， 截面为等腰梯形，故选C【点睛】本题主要考查平面的基本性质，根据直线平行的性质是解决本题的关键6. 如图，已知四边形的直观图是一个边长为 1
4、 的正方形，则原图形的周长为（ ）A. B. 6 C. 8 D. 【答案】C【解析】试题分析：因为四边形的直观图是一个边长为的正方形，所以原图形为平行四边形，一组对边为，另一组对边长为，所以圆图形的周长为，故选C.考点：平面图形的直观图.7. 在中，若把绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所以， 所以旋转体的体积为，故选B考点：旋转体的性质与体积8. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C，故应选.考点：
5、1、空间几何体的体积；2、三视图.9. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面直径为2，高 故半圆锥的底面半径 ，母线长为 ，半圆锥的表面积 选A10. 直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】C【解析】延长到，使得，连接。因为是直三棱柱，所以，从而有，所以四边形是平行四边形，故。所以是异面直线与所成角。设，则。因为，所以，所以，则为等边三角形，从而，故选C11. 如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线
6、的平面分别与棱交于，设,，给出以下四个命题：当且仅当时，四边形的面积最小；四边形周长,，则是奇函数；四棱锥的体积为常函数；其中正确命题的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】连结 ，则由正方体的性质可知， 平面 ，所以，所以正确因为，四边形 的对角线 是固定的，所以要使面积最小，则只需 的长度最小即可，此时当 为棱的中点时，即 时，此时 长度最小，对应四边形 的面积最小所以正确因为 ，所以四边形 是菱形函数 为偶函数，故不正确连结 ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 为底，以 分别为顶点的两个小棱锥因为三角形 的面积是个常数 到平面的距离是个常数，所以
7、四棱锥 的体积 为常函数，所以正确故选C【点睛】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高12. 在正方体中，点线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 下列命题中正确的有_有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱
8、台；存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；圆台的任意两条母线所在直线必相交；【答案】【解析】不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故正确；如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故错误根据圆台的定义和性质可知，命题正确所以答案为14. 已知圆锥的母线长度为2，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为2，则此圆锥的底面圆半径为_【答案】【解析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦
9、是最短距离，即 的长是蚂蚁爬行的最短路程，圆锥 的母线 的长度为2，一只蚂蚁从点 绕着圆锥侧面爬回点的最短距离为2， 设圆锥的底面半径为，则 故答案为15. 已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为_【答案】16 【解析】试题分析：作出其直观图如下图所示，结合三视图可知，该几何体是一个四棱锥，且其底面是一个直角梯形，其面积为，高为，因此，该几何体的体积为.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积16. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则该球的表面积等于_【答案】.设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 故此球的表面积为 即
10、答案为【点睛】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，长方体中，点为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析; 1）设和交于点，连，易证 ，则由直线与平面平行的判定定理可证直线 平面（2）由勾股定理可证是直角三角形即同理，由直线与平面垂直的判定定理可证直线平面试题解析:（1）设和交于点，连，由分别是的中点，故 ，所以直线 平面（2），所以是直角三角形，同理，所以直线平面18.
11、如图，是正三棱柱，底面边长为，分别是、上的一点，（1）求截面的面积（2）若正三棱柱的高为，求点到截面的距离.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由勾股定理易证为等腰三角形，则截面的面积易求（2）设点到截面的距离为，易知点到平面的距离即点到侧面的距离等于，则由可求试题解析：（1）由勾股定理易得，为等腰三角形面积（2）设点到截面的距离为，易知点到平面的距离即点到侧面的距离等于，由 19. 如图所示，棱柱的侧面是菱形，.（1）证明：平面；（2）设是上的点，且平面，求的值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由题侧面是菱形，所以.又已知， 由直线与平面垂直的判定定理可
12、证平面.（2）设交于点，连接，则 平面，可证 .又是的中点，所以为的中点即.试题解析：（1）因为侧面是菱形，所以.又已知，且，所以平面.（2）设交于点，连接，则是平面与平面的交线因为 平面，所以又是的中点，所以为的中点即.20. 如图，正三棱锥，已知，（1）求此三棱锥内切球的半径.（2）若是侧面上一点，试在面上过点画一条与棱垂直的线段，并说明理由【答案】(1)半径为 ;(2) 过作线段平行于，则为所求，证明见解析.【解析】试题分析; （1）过作平面，垂足为，由正三棱锥的性质可得为底面正三角形的中心，求解三角形可得，进一步得到，求得，再由棱锥体积公式求得正三棱锥 的体积,最后 可求此三棱锥内切球
13、的半径；（2）由（1）结合线面垂直的判定可得 ，得到 ，过 作线段平行于 ，则为所求试题解析;（1）如图，过作平面，垂足为，为正三棱锥，为底面正三角形的中心，连接并延长交于，则，且，则 ；（2）过作线段平行于，则为所求理由：为正三棱锥，过作平面，垂足为，为底面正三角形的中心，则，平面，则， ，【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质以及椎体的体积等，考查空间想象能力和思维能力，其中得到椎体的体积后由 求出此三棱锥内切球的半径是解题的关键21. 如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点. （1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) 所求角的余弦值.【解析】试题分析：（1）设的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知可得四边形为平行四边形，得到 再由线面平行的判定可得MN平面PAB；（2）取边的靠近点的四等分点，连接，可证异面直线与所成角就等于与所成的角，则在中设法求出，和最后由余弦定理可求求异面直线与所成角的余弦值.试题解析（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知 ，.又 ，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是 ，因为平面，平面，所以 平面.（2）取边的靠近点的四等分点，连接，则，由 四边形为平行四边形所以异面直线与所成角就等于与所成的角， ， 所以所求角的余弦值22. 如图甲所示，是梯形的高，先将梯形沿折起如
