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1、必修一第一章 集合与函数概念1.1集合的含义与表示集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。通常，集合用大写字母表示，集合元素用小写字母表示。 如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作。 如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。非负整数集（自然数集） N 整数集 N*或N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R集合的两种表示方式：列举法，描述法。1.2集合间的基本关系一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集。记作： 读作：A含于B(或B包含A)。 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。Ve
2、nn图法表示集合。空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。子集的定义：对于两个集合A与B，若然任何属于A的元素也属于B，我们就说A是B的子集。真子集的定义：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。1.3集合的基本运算交集、并集、全集、补集。一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。记作：AB。 读作：A交B。其含义用符号表示为： A B用Venn图表示如下：般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。 记作：AB. 读作：A并B.其
3、含义用符号表示为：A B用Venn图表示如下：补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个真子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的补集记作sA. 读作A在S中的补集。1.4函数的概念（1）设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(
4、x)”； 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x（2） 构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系。（3）区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示（4） 求函数定义域的方法：1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） 5）满足实际问题有意义.
5、1.5函数的表示法函数的三种常用表示法：解析法、列表法、图像法解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域。列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。解析法：必须注明函数的定义域。图象法：是否连线。列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。1.6映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之
6、对应，那么就称对应：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“：AB”。说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思1.7函数的单调性增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：1） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。2）必须是对于区间D
7、内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 。函数单调性的定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。判断函数单调性的步骤： 任取x1，x2D，且x1x2。 作差f(x1)f(x2)。 变形（通常是因式分解和配方）。 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）。 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。1.8函数的最大最小值(1) 最大（小）值定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：1）对于任意的，都有f(x)=)M； 2）存在，使得那么
8、，称M是函数的最大值。(2) 利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法。配方法 换元法 数形结合法1.9函数的奇偶性偶函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数。奇函数的定义：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数注意：1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。3）偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称。偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称
9、的区间上单调性一致。第二章 基本初等函数2.1指数与指数幂的运算n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根，其中n 1，且n,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示，叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号表示，其中n称为根指数，a为被开方数。零的n次方根为零，记为正数的分数指数幂的意义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性
10、质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）（2）（3）一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的。整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。2.2指数函数及其性质指数函数的定义：一般地，函数（0且1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。从图上看（1）与（01）两函数图象的特征。 指数函数（0且1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质10110
11、1向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于10，10，1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于10，10，1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（0且1）值域是（2）若 （3）对于指数函数（0且1），总有（4）当1时，若，则。2.3对数对数的定义：一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作，叫做对数的底数，N叫做真数。在对数的概念中，要注意：（1）底
12、数的限制0，且1 （2）指数式对数式 幂底数对数底数指 数对数 幂 N真数说明：对数式可看作一记号，表示底为（0，且1），幂为N的指数工表示方程（0，且1）的解。也可以看作一种运算，即已知底为（0，且1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算。两类对数： 以10为底的对数称为常用对数，常记为. 以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数，常记为.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.2.4对数及其性质1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质 0且1 如果0且1，M0，N0，那么：（1）（2）（3）换底公式：0，且1，0，且1
13、，0一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）。对数函数的性质：图象的特征函数的性质（1）图象都在轴的右边（1）定义域是（0，+）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当1时，图象逐渐上升，当01时，图象逐渐下降 .（3）当1时，是增函数，当01时，是减函数.（4）当1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当01时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当1时 1，则0 01，0当01时 1，则0 01，0101图象性质（1）定义域（0，+）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当=1，=0；（4）在（0，+）上是增函数在（0，+）是上减函数反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.同底的指数函数和对数函数互为反函数。2.5幂函数一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限单调增减性在第象限
