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1、-课题谈函数与方程(零点问题)的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上主要考察转化与化归、数形结合及函数与方程的思想(1)函数零点的定义对于函数yf(*) (*D)，把使f(*)0成立的实数*叫做函数yf(*) (*D)的零点(2)零点存在性定理(函数零点的判定)假设函数yf(*)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)，函数yf(*)至少有一个零点，即相应方程f(*)0在区间(a，b)内至少有一个实数解也可以说：如果函数yf(*)在区间a，b上
2、的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，则，函数yf(*)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(*)0的根提醒此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数(3)几个等价关系函数yf(*)有零点方程f(*)0有实数根函数yf(*)的图象与函数y0(即*轴)有交点推广：函数yf(*)g(*)有零点方程f(*)g(*)0有实数根函数yf(*)g(*)的图象与y0(即*轴)有交点推广的变形：函数yf(*)g(*)有零点方程f(*)g(*)有实数根函数yf(*)的图象与yg(*)有交点1函数的零点是函数yf(*)与*轴的交点吗.是否任意函数都有零
3、点.提示：函数的零点不是函数yf(*)与*轴的交点，而是yf(*)与*轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(*)0有根的函数yf(*)才有零点2假设函数yf(*)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)f(b)03假设函数yf(*)在区间(a，b)，有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数ya*2b*c(a0)的图象与*轴的交点(*1，0)，(*2，0)(*1，0)无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考察函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有： 1函数零点的求解与所在区
4、间的判断；2判断函数零点个数；3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015*十校联考)设f(*)ln *2，则函数f(*)的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)f(2)0，函数f(*)ln *2的图象是连续的，函数f(*)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(*)的零点所在的区间转化为函数g(*)ln *，h(*)*2图象交点的横坐标所在的范围，如下图，可知f(*)的零点所在的区间为(1，2)【答案】B2(2015*五校联考)函数yln(*1)与y
5、的图象交点的横坐标所在区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)【解析】函数yln(*1)与y的图象交点的横坐标，即为函数f(*)ln(*1)的零点，f(*)在(0，)上为增函数，且f(1)ln 210，f(2)ln 30，f(*)的零点所在区间为(1，2)【答案】B3函数f(*)3*7ln *的零点位于区间(n，n1)(nN)，则n_【解析】求函数f(*)3*7ln *的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(*)的零点位于区间(2，3)，故n2【答
6、案】24(2015*模拟)假设abc，则函数f(*)(*a)(*b)(*b)(*c)(*c)(*a)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)B(，a)和(a，b)C(b，c)和(c，)D(，a)和(c，)【解析】此题考察零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知f(*)的零点位于区间(a，b)和(b，c)【答案】A5(2014高考*卷)f(*)是定义在R上的奇函数，当*0时，f(*)*23*，则函数g(*)f(*)*3的零点的集合为()A1，3B3，1，1，3C2，1，3D2，1，3【解析】令*
7、0，则*0，所以f(*)f(*)(*)23(*)*23*求函数g(*)f(*)*3的零点等价于求方程f(*)3*的解当*0时，*23*3*，解得*13，*21；当*0时，*23*3*，解得*32【答案】D确定函数f(*)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(*)0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(*)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0假设有，则函数yf(*)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与*轴在给定区间上是否有交点来判断1函数f(*)log2*，在以下区间中，
8、包含f(*)零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4) D(4，)【解析】因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(*)的零点所在区间为(2，4)【答案】C2方程log3*3的根所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】法一：方程log3*3的根即是函数f(*)log3*3的零点，由于f(2)log3223log3210且函数f(*)在(0，)上为单调增函数函数f(*)的零点即方程log3*3的根所在区间为(2，3)法二：方程log3*3的根所在区间即是函数y1log3*与y23*交点横坐标所在区间，两
9、函数图象如下图由图知方程log3*3的根所在区间为(2，3)【答案】C3(2015*调研)设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(*)的两个零点分别位于区间()A(，1)和(1，2)B(1，2)和(2，3)C(2，3)和(3，)D(，1)和(3，)【解析】此题考察函数与方程利用零点存在定理求解当*(1，2)时，函数图象连续，且*1，f(*)，*2，f(*)，所以函数f(*)在(1，2)上一定存在零点；同理当*(2，3)时，函数图象连续，且*2，f(*)，*3，f(*)，所以函数f(*)在(2，3)上一定存在零点，应选B【答案】B考向二、判断函数零点个数1函数f(*)满足f(0)1，且f(
10、0)2f(1)0，则函数g(*)f(*)*的零点个数为_【解析】f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，b当*0时，g(*)2*20有唯一解*1；当*0时，g(*)*2*1，令g(*)0得*或*2(舍去)，综上可知，g(*)f(*)*有2个零点【答案】22(2013高考*卷)函数f(*)2*|log0.5*|1的零点个数为()A1B2C3 D4【解析】由f(*)2*|log0.5*|10，可得|log05*|*设g(*)|log0.5*|，h(*)*，在同一坐标系下分别画出函数g(*)，h(*)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(*)有2个零点【答案】B3
11、(2015高考*卷)函数f(*)函数g(*)3f(2*)，则函数yf(*)g(*)的零点个数为()A2B3C4 D5【解析】分别画出函数f(*)，g(*)的草图，观察发现有2个交点【答案】A4假设定义在R上的偶函数f(*)满足f(*2)f(*)，且当*0，1时，f(*)*，则函数yf(*)log3|*|的零点个数是_【解析】由题意知，f(*)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(*)及ylog3|*|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(*)log3|*|有4个零点【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(*)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2
12、)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点1(2015*期末)函数f(*)*ln(*1)1的零点个数是_【解析】函数f(*)*ln(*1)1的零点个数，即为函数yln(*1)与y*1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(*1)与y*1的图象，如图，由图可知函数f(*)*ln(*1)1的零点个
13、数是2【答案】22假设定义在R上的函数f(*)满足f(*2)f(*)，且*1，1时，f(*)1*2，函数g(*)则方程f(*)g(*)0在区间5，5上的解的个数为()A5 B7C8 D10【解析】依题意得，函数f(*)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(*)与函数yg(*)的图象，结合图象得，当*5，5时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(*)g(*)0在区间5，5上的解的个数为8【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1(2014*检测)假设函数f(*)a*2*1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A0BC0或D2【解析】当a0时，函数f(*)*1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a0时，函数f(*)a*2*1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次
