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1、Abstract摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括：微分、积分及其应用。微积分是与应用联系着发展起来的，微积分的发展极大的推动了数学的发展。不等式是数学学科中极为重要的内容，证明不等式的方法多种多样，有些不等式用以前学习的方法来证明比较麻烦，其证明通常不太客易。本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用微积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。用微积分证明不等式成立,
2、基本思路是构造一个辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态，然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式。希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与不等式的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。关键词： 微积分；不等式；证明；应用 AbstractThe calculus is study on the function of Higher Mathematics in the differential, integral and relevant concepts and applications of mathematics branch. It is a basic
3、 discipline of mathematics, mainly including: differential, integral and its application. Calculus develops with the application, the development of calculus greatly promoted the development of mathematics. Inequality is a very important content in mathematics, the various methods to prove inequalit
4、y, some methods of inequality by the previous study to prove troublesome, it is usually not too easy.This paper reviews the elementary methods to prove inequality, the use of differential mean value theorem, the monotone of the function, extreme( maximum ) determination method, convex-concave functi
5、on, the Taylor formula, the definite integral, some knowledge of calculus method to prove inequality, this paper discusses how to skillfully use the knowledge and method of the calculus to solve some of the problems of inequality. Using calculus to prove inequality, the basic idea is to construct an
6、 auxiliary function, the proof of inequality into to study function using calculus form, then use the calculus calculate the properties of the function to prove inequality. Hope that through this paper can make people aware of the close relationship between calculus and inequality, Let us be aware o
7、f the importance of integrating theory with practice.Keywords: calculus; inequality; prove; application新!为您提供类似表述，查看示例用法： 分享到 翻译结果重试抱歉，系统响应超时，请稍后再试 支持中英、中日在线互译 支持网页翻译，在输入框输入网页地址即可 提供一键清空、复制功能、支持双语对照查看，使您体验更加流畅不要删除行尾的分节符，此行不会被打印2- -目录目录摘要IAbstractII1 绪论21.1 学术背景21.2 微积分的实践意义21.3 国内外研究现状31.4 课题研究的主要内容
8、32 微积分42.1 微积分定义42.2 微积分的发展史52.3 本章小结63 微积分在不等式中的应用73.1 利用微分中值定理证明不等式73.1.1 微分中值定理（拉格朗日中值定理）73.1.2 微分中值定理在不等式中的应用73.2 利用函数的单调性证明不等式83.2.1 函数的单调性83.2.2 函数单调性在不等式中的应用83.3 利用函数的极值(最值)证明不等式93.3.1 函数的极值定理93.3.2 函数极值在不等式中的应用103.4 利用函数的凹凸性质证明不等式113.4.1 函数的凹凸性质113.4.2 函数的凹凸性质在不等式中的应用113.5 利用泰勒公式证明不等式123.5.1
9、 泰勒公式123.5.2 泰勒公式在不等式中的应用133.6 利用定积分的性质证明不等式143.6.1 定积分的性质143.6.2 定积分在不等式中的应用143.7 本章小结154 结论16参考文献17致谢18千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行1 绪论1.1 学术背景微积分的产生是数学上的伟大创造，它是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分，微积
10、分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。其地位介于自然和人文科学之间，成为高等教育成果硕然的中介。想真正理解数学的力量和表现，就必须从历史的角度来理解这一领域发展至今的现状，以广阔的视野看待数学。初等数学中不等式问题涉及知识面广，方法灵活多变，一直是数学学习和教学的难点。微积分理论是高等数学的基础，同样也是研究高中数学与中学数学关系时不可或缺的部分。它除了对中学数学有重要的指导作用外，还能在中学数学的许多问题上起到以简驭繁的作用。微积分应用于初等数学，使一些证明更严谨或更简单，并为许多问题提供了新的解决途径。本文试图应用微积分方法解决一些不等式中的证明问题。在学习微积分理论时，学生自然会透过公式的表
11、象，从中去探索和挖掘自身的思维能力。此外，微积分证明不等式的教学理念在培养学生数学思维能力方面发挥着不可小觑的作用。因为微积分证明不等式能够不拘泥于固定的模式，途径灵活多样，通过这些优点令学生举一反三、易于掌握，将不等式的证明过程纳入到微积分理论领域中。1.2 微积分的实践意义微积分的研究，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一，其常用方法有：比较法、反证法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、特殊不等式法等若干方法。不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法。例如，数形结合的思想、转化的思想
12、、类比的思想、分类讨论思想、建模的思想等。不等式同时也是高中知识的一个重要的章节，高中时就学习了很多基本的不等式证明方法。不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位，是教学的一个重点，也是学习的一个难点。但是有些不等式利用上述方法证明起来比较困难，这时我们从函数的观点去认识不等式，以微积分为工具，把不等式的证明转化为利用微积分研究函数的性质，相对比较简单。利用微积分与不等式之间的密切联系，把微积分作为解决不等式问题的一种重要工具；用微积分证明不等式的实质就是构造函数，然后利用微积分与函数之间的关系来证明不等式。微积分作为数学学科的重要内容，利用其证明不等式是一种非常有效的方法，它能将某些不等式的
13、证明化难为易。1.3 国内外研究现状微积分在不等式证明中的应用已经在国内外都取得了一定的研究成果，特别是采用的方法上更是有着百花齐放的壮观。目前在这方面国内有了比较全面深度的研究，国外的研究更侧重深度的展开。1.4 课题研究的主要内容不等式涉及数量之间大小的比较，而通过比较常能显示出变量变化之间互相制约的关系，所以对不等式的研究无论是实践应用还是理论分析都有重要的意义。对于较复杂的不等式，用一般的解不等式的方法往往需要很多技巧，微积分是高等数学的重要组成部分，是一种实用性很强的数学方法和工具，用它来解不等式就可以使解题思路变得简单。本章就从此基点出发，介绍利用微积分证明不等式的几种方法：微分中
14、值定理，函数的单调性，极值（最值）的判定法，函数的凸凹性质，泰勒公式，定积分的性质等对不等式证明进行了探究与归纳。2 微积分2.1 微积分定义概念微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。设函数在某区间内有定义，及在这区间内，若函数的增量可表示为，其中是不依赖于的一个常数，是的高阶无穷小，则称在点处可微。叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即设函数在上有解，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间 在每个小区间上任取一
15、点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和如果不论对怎样分法，也不论在小区间上的点怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和总趋于确定的极限， 这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分， 记作即2.2 微积分的发展史从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。随着时代的发展微积分在数学领域得到了很重要的发展十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛
