《艺体生专题六--导数第一问百日突围》由会员分享，可在线阅读，更多相关《艺体生专题六--导数第一问百日突围（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 专题六 导数第一问利用导数研究函数的单调性【背一背基础知识】1利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如可转化为可转化为【讲一讲基本技能】1.必备技能：会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数2.典型例题例1【2017课标1，文21】已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单
2、调性；【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）【解析】试题分析：（1）分，分别讨论函数的单调性.若，则由得当时，；当时，故在单调递减，在单调递增例2【2017课标II，文21】设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【答案】（）在 和单调递减，在单调递增. 【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间.试题解析：（1） 令得 当时，；当时，；当时，所以在 和单调递减，在单调递增【练一练趁热打铁】1. 【2018届辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟】已知函数（常数）.（1）讨论的单调性；（2
3、）设是的导函数，求证：.【答案】（1）见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据两零点大小分类讨论，确定导函数符号变化规律，进而确定单调性. 试题解析：（1）（，）画出（）及（）的图象，它们的零点分别为和当时，在 ，当时，在当时，在，2【2018届广东省珠海市高三3月质量检测】函数.（1）若，试讨论函数的单调性；【答案】（1）.利用导数研究函数的极值、最值【背一背基础知识】1运用导数求可导函数的极值的步骤：（I）先求函数的定义域，再求函数的导数；（II）求方程的根；（III）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取
4、得极小值2求函数在区间上的最大值与最小值的步骤：（I）首先确定函数在区间内连续，在内可导；（II）求函数在内的极值；（III）求函数在区间端点的值；（4）将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3已知函数最值求参数，需正确等价转化如函数最大值为2，则等价转化为：恒成立且有解【讲一讲基本技能】1.必备技能：求函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点；而求函数极值时，必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号，若不变号，则不为极值点；若变号，再根据变号规律，确定是极大值还是极小值2.典型例题例1【2018届山西省太原市高三3月模拟】已知函数（1）求函数的极值；【答案】（1
5、）时，无极值；，；（2）.【解析】试题分析：（1）对函数求导，对进行分类讨论，结合单调性即可得函数的极值试题解析：（1），当时，在单调递增，无极值；当时，令，解得，故在递增，递减，.综上所述，时，无极值；，例2.【2018届内蒙古呼和浩特市高三调研】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）f（x）在（，4）和（1，0）内为减函数，在（4，1）和（0，+）内为增函数；（2）.【解析】试题分析：（1）求导，利用导数研究函数的单调性；（2）由（1），比较函数的极值和在区间端点处的函数值的大小即可得到在上的最大值和最小值试题解析：（1）=（x2+2x）ex +（x
6、3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex 因为，令f（x）=0，解得x=0，x=1或x=4当x4时，f（x）0，故g（x）为减函数；当4x1时，f（x）0，故g（x）为增函数；当1x0时，f（x）0，故g（x）为减函数；当x0时，f（x）0，故g（x）为增函数； 综上知f（x）在（，4）和（1，0）内为减函数，在（4，1）和（0，+）内为增函数.(2)因为由（1）知， 上f（x）单调递减，在上f（x）单调递增所以 又f（1）= ，f（-1）=，所以【练一练趁热打铁】1.【2018届上海市杨浦区高三一模】如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1
7、）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）， （2）时， .【解析】试题分析：（1）由题意设平行于墙的边长为，则篱笆总长，表示出面积，由0，且，可得函数的定义域；（2）对其表达式进行配方，然后求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解试题解析：（1）设平行于墙的边长为，则篱笆总长，即， 场地面积， （2）， 当且仅当时， 综上，当场地垂直于墙的边长为时，最大面积为2.【2018届陕西省吴起高级中学高三上学期期中】已知函数 (,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
8、(2)求函数的极值.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，依题意，f（1）=0，从而可求得a的值；（2），分a0时a0讨论，可知f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，从而可求其极值.试题解析：()由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. () , 当, 在处取得极小值,无极大值. 点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （
9、5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.解答题（10*10=100）1.【2018届江西省高三六校联考】已知函数（1）令，试讨论的单调性；【答案】(1) 当时， 单调递减，无增区间；当时， (2) 【解析】试题分析：（1）由，对函数求导，研究导函数的正负得到单调性即可；（2）由条件可知对恒成立，变量分离，令，求这个函数的最值即可.解析：（1）由得 当时，恒成立，则单调递减； 当时，令，令. 综上：当时， 单调递减，无增区间；当时， 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最
10、终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .2.【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区高三下学期第二次诊断】已知函数（其中，是自然对数的底数）（）当时，求函数的图象在处的切线方程；【答案】（）；（）证明见解析【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义求解即可试题解析：（）当时， 又，函数的图象在处的切线方程，即3【2018届四川省高三春季诊断】已知函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意 ，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可.解析：（1）
11、，当时，在上单调递增.当时，故当或时，在上单调递增.当时，令，得或；令，得.在上单调递减，在，上单调递增.4【2018届四川省高三春季诊断】已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】（1）见解析.【解析】试题分析：（1） ，分 ，和 时讨论 的单调区间.5【2018届湖南省邵阳市高三上学期期末】已知函数 .（1）若在上存在极值，求的取值范围；【答案】（1）.【解析】试题分析：(1)函数在区间存在极值,即函数导函数满足,由此求得的取值范围.试题解析：（1）为上的减函数， ，.6【2018届湖南省邵阳市高三上学期期末】设函数 .（1）设函数 ，若曲线在点处的切线方程为，求，的值；【答案】（1），；（2
12、）的取值范围为.【解析】试题分析：（1）第（1）问，由导数的几何意义得到方程，且点在曲线上，得到两个方程解答，得到，的值.试题解析：（1） ，则 ，又，解得，.7【2018届内蒙古包头市高三第一次模拟】已知函数.（1）若，求的单调区间；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.【解析】试题分析：（1）由，求得函数及，求解和，进而得到函数的单调区间.试题解析：（1）若，.当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.8【2018届北京市人大附中高三第二次模拟】设函数（1）当时，求的极值；【答案】（1）当，取得极小值；当时，取得极大值【解析】试题分析：(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求
13、得函数的极值.试题解析：（1）当时， ， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减 所以，当，取得极小值；当时，取得极大值 9【2018届河南省八市学评高三下学期第一次测评】已知函数.(1)若,求的极值；【答案】（1）的极小值为；无极大值.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值.试题解析：（1）当时，,；令得，.列表极小值由上表可得：的极小值为；无极大值.10【2018届山东省菏泽市高三第一次模拟】已知函数.（1）若函数在x=2处取得极值，求的极大值；【答案】（1）极大值为.【解析】试题分析：（1）求导，根据条件得，进而检验即可；试题解析：令，则，.12+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增的极大值为.
