《精编【北师大版】选修44数学：第2章平摆线和渐开线学案含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精编【北师大版】选修44数学：第2章平摆线和渐开线学案含答案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精编北师大版数学资料4平摆线和渐开线1了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程2了解平摆线和渐开线在实际中的作用一、平摆线1平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作_(或旋轮线)，如图2平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r的圆的平摆线的参数方程为()3平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是，点M到达最高点_，再滚动半周，点M到达_，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱圆滚动一周时，平摆线出现一个周期平摆线上点的纵坐标最大值是_，最小值是_，即平摆线的拱高为_【做一做1】已知一个圆的参数方程为(为参数)那么圆的
2、平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为()A1 BC D二、渐开线1渐开线、基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧再逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持_，此时，铅笔尖所画出的曲线称为此圆的_，此圆称为渐开线的_，如图2渐开线的参数方程半径为r的圆的渐开线的参数方程是(其中为参数)【做一做21】半径为4的圆的渐开线的参数方程为_ .【做一做22】当为，时，圆的渐开线上对应点A，B的距离为_1圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r是指圆的半径，参数是过圆周上点M的半径与过圆与x轴切
3、点的半径的夹角参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数是指绳子外端运动时，半径OB相对于Ox转过的角度，如图，其中的AOB即是角.显然点P由参数唯一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单答案：一、1平摆线2r(sin )r(1cos )3(r,2r)(2r,0)2r02r【做一做1】C根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的
4、参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A.|AB|.二、1相切渐开线基圆2r(cos sin )r(sin cos )【做一做21】(为参数)r4，(为参数)【做一做22】当时，A.当时，B(1，)|AB|.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程分析：根据圆的平摆线的参数方程(为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程分析：代入参数
5、方程公式即可反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线(0t2)与直线y1的交点的直角坐标分析：利用参数方程求出t的三角函数值，从而求出点的坐标反思：解此类题，应明确相应参数的意义答案：【例1】解：令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kN)易知，当k1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(为参数)【例2】解：r10，参数方程为(为参数)【例3】解：由题意知，y1cos t1，cos t0，si
6、n t1.t2k(kZ)，又0t2，t.x1.交点的直角坐标为.1半径为2的圆的渐开线方程是()A(为参数)B(为参数)C(为参数)D(为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为()A(为参数)B(为参数)C(为参数)D(为参数)3面积为36的圆的平摆线参数方程为_4已知圆C的参数方程是(为参数)，直线l对应的普通方程是xy0.(1)如果把圆心平移到原点O，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程(3)求平摆线和x轴的交点答案：1A2C把r4代入平摆线参数方程即可3(为参数)S36，r6.平摆线参数方程为(为参数)4解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是(为参数)(3)令y0，得66cos 0cos 1，所以2k(kZ)则x12k(kZ)，即圆的平摆线和x轴的交点为(12k，0)(kZ)
