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1、中学九年级数学上（解直角三角形）义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品3解直角三角形单元作业设计一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九年级第一学期沪科版解直角三角形单元组织方式R 自然单元 重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1正切第23.1(P112-114)2正弦、余弦第23.1(P115-116)330,45,60角的三角函数值第23.1(P117-118)4三角函数的性质第23.1(P118-119)5一般锐角的三角函数值第23.1(P120-122)6解直角三角形第23.2(P124-1
2、25)7与视角有关的解直角三角形第23.2(P126-127)8与方位角有关的解直角三角形第23.2(P127-128)9与坡角有关的解直角三角形第23.2(P128-130)二、单元分析（一）课标要求(8) 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）, 知道30,45,60角的三角函数值.(9) 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它的对应锐角.(10) 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决些简单的实际问题.本单元属于“图形的变化”中“图形的相似”的内容.课标中学业要求学生知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三
3、角函数解决简单的实际问题.课标中教学提示图形的变化的教学，应当通过信息技术的演示或者实物的操作，让学生感悟图形轴对称、旋转、平移变化的基本特征，知道变化的感知是需要参照物的，可以借助参照物述说变化的基本特征；知道这三类变化有一个基本性质，即图形中任意两点间的距离保持不变，夹角也保持不变这样的教学活动不仅有助于学生理解几何学的本质，还能引导学生发现自然界中的对称之美，感悟图形有规律变化产生的美，会用几何知识表达物体简单的运动规律，增强对数学学习的兴趣.课标中学业质量标准要求学生知道运动过程中的不变量、图形运动的变化特征，能运用几何图形的基本性质进行推理证明，初步掌握几何证明方法， 进一步增强几何
4、直观、空间观念和推理能力.从课程标准来看，中学阶段把三角学内容分成两个部分，第一部分放在初中阶段，第二部分放在高中阶段.在初中阶段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，它是高中阶段的三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容还是思考问题的方式，前一部分都是后一部分的重要基础.在学习本章节的过程中，可以开拓学生思路，发展学生的思维能力以及改变学生的学习方式.与此同时，数学不仅是一串串数字堆积而成，它来源于生活并且服务于生活，解直角三角形的学习对于解决生活中的不可测高度问题、坡度坡角问题、方向角问题提供了便利.（二）教材分析1. 知识网络2. 内容分
5、析解直角三角形属于三角学,是课标(2022 年版）中“图形与几何”领域的重要内容. 课标中提出“图形的变化”强调从运动变化的观点来研究图形， 理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量.这样的学习过程， 有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力. 中学数学把三角学分成两部分，第一部分安排在义务教育第三学段,研究锐角三角 函数的概念和解直角三角形；第二部分安排在高中阶段,主要研究任意角的三角函 数、解斜三角形等.无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都 是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜
6、三角形的重要准备.本单元在已研究了直角三角形的三边之间关系勾股定理、两个锐角之间关系的基础上，利用相似三角形的性质进一步讨论直角三角形边角之间的关系.主要包括正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念,以及运用锐角三角函数等知识解直角三角形等.学习本单元的关键是结合图形，遵循“从特殊到一般，从实践探索到证明” 的方式呈现锐角三角函数概念，让学生充分经历“实际问题引入研究特殊直角三角形研究一般直角三角形给出锐角三角函数的正切概念”的过程， 在学生通过实验、观察、归纳、猜想等求知过程的基础上，建立起角度与数值之间的对应关系，从而正确掌握锐角三角函数的概念，真正理解直角三角形中边、角之间的关系，进而才能利
7、用这些关系解直角三角形.本单元核心概念就是围绕解直角三角形展开.从整体认知中的锐角三角函 数概念以及特殊的锐角三角函数值、整体探究中解直角三角形与非直角三角形、整体迁移构建中的解决实际问题，其最终就是让学生可以建立直角三角形模型去解决实际问题.在作业设计的过程中，把解直角三角形放在探究部分，起到承上启下的作用.学生先认知锐角三角函数概念以及特殊的三角函数值，基本可以进行简单的运算，在探究直角三角形解法时可以利用所学知识去总结归纳解决思路，最后运用到实际生活中. 引导学生在发现问题、提出问题的同时，会用数学的眼光观察现实世界；在分析问题的同时，会用数学的思维思考现实世界； 在用数学方法解决问题的
8、过程中，会用数学的语言表达现实世界.本单元需要落实五个教学内容:锐角三角函数的概念；特殊角的三角函数值； 根据三角函数值求角度；解直角三角形的含义；实际问题与解直角三角形.本单元需要认识三个教学要点:基本点对锐角三角函数的认识与应用； 支撑点相似和勾股定理；能力提升点一一组合图形的转化求解，根据具 体问题构造直角三角形.（三）学情分析从学生的认知规律看：学生在学习三角形的证明的过程中已经掌握了直角三角形的边、角方面的知识，在此基础上，进步探索直角三角形的边和角之间的关系就成了学生学习本章内容的重点，而利用锐角三角函数解决相关的实际问题则是学生学习的难点.本章辅助线的添加、直角三角形的构造是利用
9、三角函数解决问题的关键,对学生来说稍有难度，所以老师应注意在解题思路和方法上的引导，并要及时进行总结归纳.三角函数也是函数知识的一部分,所以学生可以利用类比正比例函数、一次函数和反比例函数的学习方法进行学习，但是本章知识不像其他函数那样抽象，所以学生在学习时可以通过自主探究和合作交流的方式进行探究，另外，在探究的过程中还要注重数形结合思想的运用，拓展从具体问题的研究中提炼出数学思想方法的能力.从学生的学习习惯、思维规律看：九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识.并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学
10、任务打下了基础.心理上九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展.学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合、转化和数学建模思想，体会锐角三角函数的意义, 提高应用数学和合作交流的能力.三、单元学习与作业目标本单元主要任务就是去利用锐角三角函数去解决实际问题，根据课标的要求其本质就是在建立直角三角形模型并利用特殊的锐角三角函数值求解即可.在单元的划分分为四个板块：认知锐角三角函数的概念以及特殊的三角函数值、解直角三角形与非直角三角形、利用锐角三角函数解决问题、纠错总结反思提升，分别对应大单
11、元学习中的整体认知构建、整体探究构建、整体迁移构建、整体重构过关.本章的设计旨在帮助孩子去培养数学建模、数学运算的核心素养.从单元目标出发，利用锐角三角函数解决实际问题贯穿着整个学习过程中.1. 作业目标（1） 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数( sin A , cos A , tan A )，能够应用sin A , cos A , tan A 表示直角三角形中两边的比；知道30,45,60 角 的正弦、余弦和正切值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.（2） 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.（3） 理解直角三角形中边与边之间的关系、角与
12、角之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用.2. 核心价值（1） 学生在掌握直角三角形边、角关系的基础上，根据情况选择合适的方法解直角三角形，在解决问题的过程中感悟模型思想，感受数学的价值，提升学生的核心素养；（2） 通过掌握解直角三角形的基本类型与方法，去解决生活中高度、方向角等问题.3. 学科素养（1） 能将实际问题转化为数学问题，建立直角三角形模型，发展数学建模的学科素养；（2） 在锐角三角函数概念的形成过程中，发展数感和符号感，发展抽象思维能力；（3
13、） 利用特殊的三角函数值计算过程中，学生数学运算的核心素养的提高；（4） 从特殊到一般，发展学生逻辑推理能力. 4.必备知识（1） 能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形，并选取合适的方法；（2） 在含特殊角的斜三角形中构建直角三角形，利用转化的思想解决问题. 5.关键能力（1） 梳理直角三角形中的边角关系，归纳解直角三角形的基本类型与方法， 能求解含特殊角的非直角三角形；（2） 在小组讨论合作的过程中，学会与人合作，并与他人交流思维过程与结果；（3） 从探究到生成，培养学生发现问题、解决问题的能力；（4） 能意识到数学是解决实际问题和交流的工具.课
14、标中提出初中阶段综合与实践领域，可釆用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.依据课标要求，安排了项目实践活动作业：测量本地南北分界标志的高度. 学生完成此项目实践活动作业经历了项目式学习的全过程.学生能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题；能独立思考，与他人合作，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案； 能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型；能合理使用数据，进行合理计算，借助
15、模型得到结论；能根据问题背景分析结论的意义， 反思模型的合理性，最终得到符合问题背景的模型解答.在这样的过程中，学生理解数学，应用数学，形成和发展应用意识、模型观念等，感悟数学与生活、数学与其他学科的关联，发展学习能力、实践能力和创新意识.四、单元作业设计思路本单元在整个学习过程中强调数学建模的构建以及数形结合的思想.在已经学习锐角三角函数和特殊角的三角函数值基础上，学生已经拥有简单计算的能力.直角三角形的学习在八年级就已经涉及，学生在知识理解上并不困难，难点就在于：学生在利用锐角三角函数解直角三角形时，边角关系容易找错； 解非直角三角形不知如何构建模型；二次根式的运算与化简问题；方程思想的运用不熟练.在设计作业时，紧扣从知识结构，逻辑结构，能力结构，价值意义结构四个方面立足分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标， 题量 3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量1-2大题，要求学生有选择的完成）.五、课时作业【学情分析】23.1 锐角的三角函数从学生的认知规律看：学
