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1、数学教学中的辩证法质量互变规律揭示了一切事物运动、变化、发展的两种基本状态，即量变和质变以及它们之间的内在联系和规律性。否定之否定规律揭示了事物由矛盾引起的发展，即由肯定否定否定之否定的螺旋式的前进运动。数学中的辨证法要点是：1. 同中有异 - 分法 2. 异中有同 - 合法 3. 相互转化 - 化法一、曲与直直与曲除了有“非直即曲”的一面，也存在“亦直亦曲”的一面。存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态，实现直与曲的转化，即在局部范围内（等价无穷小）“以直代曲”、“以曲代直”。如阿基米德的穷竭法。二、常量与变量1. 常量在一定条件下具有任意性。如极限定义中的，不定积分中的常数C。2. 常
2、量与变量的相对性。常量与变量即有着严格的区分，又相互依存，相互渗透，在一定条件下相互转化。如偏导数。3. 通过常量来刻画变量。如微分方程中的常数变易法。4. 通过变量来研究常量。如利用导数求极值和拐点。三、 . 连续与间断1. 连续与间断是事物两种不同的性态。有时二者性质截然不同。2. 连续与间断在一定条件下可相互转化。如数列、级数与函数之间的转化，各种数值计算方法（差分、有限元、离散等）四、有限与无限1. 潜无限。把无限看成永远在延伸着的变程或进程的观点。2. 实无限。把无限看成可以自我完成的过程的观点。3. 有限与无限存在质的差异。如许多运算法则不通用。4. 通过有限认识无限。如数学归纳法
3、。5. 通过无限来表示有限。如函数的无穷级数展开。五、抽象与具体1. 高度抽象是数学的主要特征。数学抽象就是把对象理想化。数学的抽象有一系列的发展阶段。数学的研究方法几乎完全致力于使用逻辑方法处理抽象概念及它们之间的关系。数学有自身的符号语言来表述自身的内容。2. 高度抽象使数学具有广泛应用。3. 数学抽象与具体的辩证关系。表现在数学概念之间的一般与特殊的关系。六、局部与整体1. 局部“点态性”。即邻域的单纯静态点、比较静态点、动态点。2. 整体“区间性”。如最值定理、有界定理。3. 局部与整体的辩证关系。一定条件下可相互转化，七、偶然性与必然性1. 随机事件与必然事件。如概率论。2. 蝴蝶效
4、应与偶然性。如混沌学。下面我就以两根与系数的关系的探讨为例：可以这样人手： 1. 方程 3 一 5x+2=0 的两根之和 1+2、两根之积分别等于多少，观察帆、 XlX 的值与三个系数有什么关系。换一个方程，再看看是否也有这样的关系，进而猜测一元二次方程 axZ +bx+c=O(n0) 的两根与系数的关系。3. 静止与运动的关系事物的静止是相对的， 运动是绝对的。“人不能两次踏进同一条河流”， 数学亦如此。 变量有时可视为常量来对待，而常量有时又可以作变量来处理。例如，用求根公式法将多项式 3xZ-5xy+ 分解因式，可将多项式中的变量 y 视为常量，先求关于变量的一元二次方程 3 一 5xy
5、+y2=0 的两根，再把它分解因式。4. 现象与本质的关系现象是事物的外部表现形态，是人的感官能直接感知的； 本质是事物内在的属性， 是构成一事物的各种必不可少的要素的内在联系， 是事物外部表现形态的根据。 任何一个数学问题都有它的现象和本质， 只有由表及里， 由近及远去分析，才能把握其本质，挖掘其潜在的条件而顺利解决。如，共有 1022 名选手参加的乒乓球单项竞赛，实行淘汰制。问决出最后的冠军共需进行多少场比赛 ?本题若按常规的思路解， 1022名选手初赛511 场，胜出的 511 人再赛 255 场，剩下 255 人加上轮空的 1 人又赛 128 场，如此下去，最后两人决赛，共需的场数为
6、1021 场。如果参赛人数更多 ( 如参赛人数为 10003 人 ) ，按照上面的思路求解，其过程是繁琐而冗长的。实际上，这样分析就精彩多了： 考虑到比赛一场就淘汰1 人这一本质条件， 要淘汰掉若干选手便要赛若干场。 故决出最后冠军须淘汰掉1021 名选手，因而需赛 1021 场。同样，参赛人数为10003 时，需赛100031=10002(场 ) 即可。5. 对立与统一的关系客观世界是充满矛盾的，这些矛盾又统一在这个世界里， 反映到数学领域亦不例外。 加与减、乘与除、正与负、开方与平方、多项式乘法与因式分解、和差化积与积化和差、微分与积分等，它们既是对立的，又是统一的。如正数与负数之间有一个“零”， 它起着“核”一样的连接作用， 像天平上的支架一样支撑着双方，构成一个统一的整体。6. 量变与质变的关系量变是事物在数量上的增减，是一种渐进性的、不显著的变化；质变是事物根本性质的变化，是事物形态的突变和飞跃。 事物的发展是从量变开始， 达到一定程度后发生质变， 再在质变的基础上进行新的量变。 数学中不少地方也体现了这一辩证法。例如，当 0 ，耵 时，讨论曲线一 cos?r2=1的形状。解： (1) 当 011 时， 0
