正弦定理教学案例

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1、 教 学 案 例(一)一节未按教学设计完成的课(正弦定理)汾西一中刘惠文正弦定理教学案例汾西一中 刘惠文一、背景介绍结合新课标课改的精神和我校“以人为本”的教育理念的指导,高中数学教学不仅仅局限于接受、记忆、模仿和练习,更应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式,使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。 2013年4月29日上午第一节在高二227班(重点班)讲的示范课,正弦定理第一课时。本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修5(人教A版)第一章,正弦定理第一课时,是在高一学生了三角等知识之后,显然是对三角知识的应用;同时,作为三角形中的一个定理,也是对初

2、中直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用又十分广泛。本课“正弦定理”,作为单元的起始课,为后续内容作知识与方法的准备,是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上,通过对三角形边角关系作量化探究,发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具),解决简单的三角形度量问题。本节教学重点:正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。1、设计思想根据实际教学处理,本节课采用探究式课堂教学模式,辅以讨论法以及多媒体演示法。即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容。分为三个阶段:第一阶段教师通过引导学生学生对实际问题的

3、探索,并大胆提出猜想;第二阶段由猜想入手,带着疑问,以及特殊三角形中;边角的关系的验证,通过“作高法”、 “向量法”等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性;第三阶段利用正弦定理解决引例,最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明,感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。2、学情分析对普通高一的学生来说,在初中,学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、全等三角形等与三角形有关的基础知识;同时在必修4 ,学生也学习了三角函数、向量三角恒等变换以及平面向量等内

4、容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸,是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式,在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。 但学生对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度。而且学生基础差、底子薄,数学运算能力,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计课的时候往往要多作铺垫,教学中以讨论法(师生对话、生生讨论)为主,以发现法、类比法、接受法、练习法为辅。3、出现状况讲课中,第一阶段的引导、猜想顺利完成,第二阶段由猜想入手,带着疑问,以及特殊三角形中;边角的关系的验证,通过“作高法”、 “向量法”等多种方法

5、证明正弦定理,验证猜想的正确性,也完成了 。本来一句“大家还有其他的证明方法吗?”再来一句“还有很多,有兴趣的同学下去试一试。”就往下讲第三阶段了,但是二、教学片段上面我们结合实例,引出正弦定理的构造=,是否任意三角形都有这种边角关系呢?1、探索发现猜想老师:我们先通过特殊例子检验=是否成立,举出特例,给学生指明一个方向。如图一的第一个图中,在ABC中,A=B=C=60o,对应的边长a:b:c=1,对应角的正弦值分别为,;引导学生考察,的关系学生1::它们相等,都是 如图一的第二个图中,在ABC中,A=B=45o,C=90o,对应的边长a=b=1,c=,对应角的正弦值分别为,1;学生2::它们

6、相等,都是 如图一的第三个图中,在 ABC中,A,B,C分别为30o,60o,90o,对应的边长a=1,b=,c=2,对应角的正弦值分别为,1; 学生3::它们相等,都是2老师:下面我们考虑任意的RtABC,结论如何?学生4:思考交流得出,如图2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,则有sinA=, sinB=,又sinC=1=,则=c从而在直角三角形ABC中,=老师:更进一步,对于任意三角形是否有=呢?学生按事先安排分组,让学生阅读,质疑提问:有什么不明白的地方或者有什么问题吗?(如果学生没有问题,教师让学生动手计算。)学生:分组互动,每组画一个三角形,席量出三边和三个角度数值,

7、通过实验数据计算,比较、的近似值。老师:放映利用几何画板制作的多媒体动画,画面将显示:不管三角形的边、角如何变化, 比值:,的值都会相等。我们猜想:=设计意图:让学生体验数学实验,激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验,体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。2、探索证明定理老师:我们通过验证知道结论成立,那么对任意的三角形,如何用数学的思想方法证明=呢?前面探索过程对我们有没有启发?学生分组讨论,每组派一个代表总结。学生5:在三角形中,如图3设BC=a,CA=b,AB=c作:ADBC,垂足为D在RtABD中,sinB=AD=ABsinB=csinB 在RtADC中,sinC=AD=A

8、CsinC=bsinCcsinB=bsinC=同理,在ABC中,=学生6:不对,如果是钝角三角形,就不对,如图4老师:( _ )不错嘛,由于钝角三角形与锐角三角形的高位置不同,得重新考虑,那么同学6说一说你的证明方法。学生6: 在钝角三角形中,如图4设C为钝角,BC=a,CA=b,AB=c作ADBC交BC的延长线于D,在RtADB中,sinB=AD=ABsinB=csinB,在RtADC中,sinACD=AD=ACsinACD=bsinACBcsinB=bsinACB=同锐角三角形证明可知=3、深入探讨研究老师:我们把这条性质称为正弦定理。在向量中,我也学过=cos,这与边的长度和三角函数值有

9、较这密切的联系,是否能够利用向量来证明正弦定理?师生共同复习利用向量数量积解决数学问题的方法:先找向量等式,再同乘某一向量来处理。学生7:思考(联系作高的思想)得出:在锐角三角形ABC中,=,作单位向量垂直于AC,=即0=ccos(90o-A)acos(90o-C)csinA-asinC=0=(图5)对于钝角三角形,直角三角形的情况作简单交代。老师:大家还有其他的证明方法吗?(本来这节课准备到此为止,讲例题,可有学生亟不可待的站起来。)学生8:可借助初中所学过的面积公式和三角函数知识思考得出。老师:很好,你上来给咱们证明一下。学生8讲解:如图6,对于任意ABC,由初中所学过的面积公式可以得出:

10、SABC=ACBD=CBAE=BACF,而由图中可以看出:sinBAC=,sinACB=,sinABC=,BD=ABsinBAC,AE=ACsinACB,CF=BCsinABCSABC=ACBD=CBAE=BACF=ACABsinBAC=CBCAsinACB=BABCsinABC=bc sinBAC=ab sinACB=ca sinABC等式bc sinBAC=ab sinACB=ca sinABC中均除以abc后可得=即=。(讲到此,我突然发现可讲在高中最常见的三角形面积公式:SABC =absinC)老师:在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AE=c sinABC=a sinABC,三角

11、形的面积:SABC=aAE,能否得到新面积公式。学生9:我见过,SABC=aAE casinABC得到三角形面积公式SABC =absinC=casinB=bcsinA(既然课上的这儿,那就不如往下讲正弦定理的完整公式=2R)老师:大家还有其他的证明方法吗?比如:、都等于同一个比值k,那么它们也相等,这个k到底有没有什么特殊几何意义呢?学生讨论,不知道该如何处理。老师提示先考虑RtABC中学生10:在前面的检验中,RtABC中,(图7)=c,c是斜边。(此时及时提醒:斜边c在直角三角形中恰可做为三角形外接圆的直径。)老师:那么对于一般三角形呢?这个k到底有没有什么特殊几何意义呢?学生讨论了半天

12、,学生11:好像应该是:k=c=2R,即正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R老师:如何证明呢?学生讨论激烈,老师参与并提示、引导先画三角形的外接圆,把一般三角形转化为直角三角形来处理。终于有学生做出来了。可此时下课铃响了。(如学生12已作出结论:k=c=2R作ABC的外接圆O,O为圆心,连接BO并延长交圆O于B/,把一般三角形转化为直角三角形。证明:连接BO并延长交圆于B/(图8)B/AB=90O,B/=C在RtB/AB中,=B/B=B/B=2R即=2R,同理可证:=2R,=2R=2R)老师:同学们,部分同学已证明,比如同学12,下去以后再研究,完善一下步骤。我们本节课通过“作高法”、“向

13、量法”、“等积法”、“外接圆法”等方法证明正弦定理,由于时间有限,对正弦定理的证明到此为止,有兴趣的同学回家再探索。临时设计意图:经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想,力图让学生体验数学的学习过程。三、教学反思本节课中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程,学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实,为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。 本节课是正弦定理教学的第一节课,课堂思维容量大,教学进度受学生的思维水平的影响;教学中容易出现突

14、发事件影响教学进度;象本节课,面积公式证明法,以及完整正弦定理在备课时就没想到要讲,学生提供出新的证法,教师在此适时拓展,讲到了三角形的新面积公式,接着提出完整正弦定理。课讲到此,正好是一节完整地定理证明课,有证明,有拓展。而高227班是个重点班,学生学习兴趣浓,主动性强,本节课才讲下来。因此在教学中,教师要灵活处理随机事件的能力高,在组织教学中,采取“让学生走上讲台”、 “师生、生生讨论”等模式,形成学生主动观察、分析、归纳、探究、猜想、证明为主线的,教师的主导作用,真正体现了新课改的理念。这节课虽然没有完成最开始的设想,但我感觉本节课却达到了意想不到的效果,并得到三角形面积公式。因此,学习数学不仅是知识的自我和应用,更主要的是知识的建构和思维能力的培养,体现了知识的探究、建构过程、体现了学生的主体作用。对教材教学适当的处理,分层递进,理解思维方法,从特殊到一般,从归纳猜想到实验证明,培养学生的探究问题的科学方法。也有一些遗憾:由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入,有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中,主动探究意识不强,思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入,这种状况会逐步改善。 新课标下的课堂终将是学生和教师共同成长的舞台!

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