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1、数学极限的求法常见：夹逼准则，无穷小量的性质，两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则，中值定理，定积分，泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当x趋于0时等价，例如Xsinxtanxarcsinxarctanx，ln(1+x)ex-111sinxx,tanxx,arcsinxx,1-cosxx,(1x)-1ax,nx2n当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)T0),仍有上面的等价关系成立，例如：当xt 0时,3xe -13x ； ln(1-x2)limx )0例：求/ *3 (sin )2x I x sin解：:2
2、 243. x x limx Q / . x 3(sin -)limx )043x x3-x8=82:利用极限的四则运算性质求极限进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式； 分子分母有理 化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和(或积)为有限项。例；求极限limx2-1x12x-x-1lim-2x3x-3lim(一x(2)网1x)xx已知解：limx-1(2)xnx2-12x2-x-1=11+有+川川+彳而求nmxn(x1)(x-1)lim22limI(x-1)(2x1)=x-；12x1lim(_x二2)0_x_2)=x，3(x-3)(.1x2)lim/-x,1x1xlim=xu因为
3、所以limx)33x+1=limx1(x1)(x-2)(x+1)(x2-x+1)=+川川+x-3(x-3)(Vi7x+2)=4limjxx+1=-11(n-1)n1111111111-1-1-IHHI-，-1=1223344n-1n-1nnlimxn=lim(1一一)=1n工二n工二n3:利用两个重要极限公式求极限limxQsinx1=limxLsin一二1Xf：x=xm(1+x)x=e例：求下列函数的极限4limlimcos-cos-2-cos-3H11Hcos-xn)0n：-.l|L222232nHlim(1(2)m二2土)m2)m(3)limX_0i(xaX)X,(a0,a=1)cos-
4、COSf解：22XXc0s231HH18s2nXXXXsinxcoscos2cos3IIIcos-222232nXsin2n2n1-sinx_xsin2limn.0二12n-2)mm2-2n,n2L()maXim0(1limaX-0xa1aa.Xxa1e=ae.4.利用两个准则求极限。夹逼准则：若一正整数N,当nN时，有XnWynWZn且xn例1.解:因为单调递减，所以存在最大项和最小项limxn=limzn=a,limyn=ax_JSCx-JSC贝J有x-JSC利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和zn,使得Lxn0,解方程得2lim
5、Vn所以n5:洛必达法则求极限:0洛必达法则只能对0或高型才可直接使用，其他待定型如o笛严-笛，0，18严0.f/(x)f(x)lim/lim必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则g(x)=g(x)=0=0或8J11_0-0-11A.08可以通过近000,8-8通分化为000，后面两个哥的形式通过取对数来变化。lnsinmxlim例1：(1)求xflnsinnx(2)lim xx 求x 0 ,limlnsinmx=limlnsinnx二一七解：(1)由xTTInsinmxmcosmxsinnxmsinnxlimlim-lim所以上述极限是00待定型，则x-50lnsinnx=Tncos
6、nxsinmx=nTsinmx二1limxx/(2)7+它为0型xxlnx由对数恒等式可得x=elimxlnxIlimxxex_0lnxlimxlnx=lim=0x0.x0.1limxx0T+=e=1l如果 g (x)不存在时，并不能断定limf(x)g(x)也不存在,只是这时不能用洛必达法则。例limx -2sin xx 3x cosx解：该极限是“ 0”型，但用洛比达法则后得到: 0.1-2cosx3lim ,此极限x- ： 3-sinx不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:/ 2sinx1原式=lim x-xcosx3 x(分子、分母同时除以x)6:利用单侧极限相等求极限用于求分段
7、函数在分段点处的极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在求 f(x)在x=0的左右极限解:lim x sin 17 + x = 14r1xsin,x0f(x)=x2例:1x,x_0limxsin1limf(x)=limf(x)=1x_0x_0-lmf(x)=17:利用函数的连续性求极限用于直接将值带入函数或求复合函数的极限。如果u=g(x)在点x0连续g(%)=u0,而y=f(u)在点x0连续，那么复合函数y=f(g(x)在点x0连续。即limf(g(x)=f(g(xo)=f(limg(x)li,极限号盘可以与符号f互换顺序。limln(11)x例：求xxu
8、=(1-)x解：令y=lnu,则x1xu0=limln(1)=e因为lnu在点TX处连续1xlimln(1)所以xx=lne二18:利用无穷小量的性质求极限:可以处理一个有界函数和无穷小的乘积是无穷小类的问题。lim例：求x二sin x解：因为sin x 11lim = 0Jx所以解：令t = x-1 贝J lnx=ln(t+1)-1xln x =limtt ln(t . 1)lim 1t。ln(t 1)t =1sinxlim5x=09:换元法求极限:当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。x.x-1lim例：3求x_1xlnx例lim、t1、1. 0
9、-3(m,nWN).x11-mx解（变量替换法）令t=mG,则当xti时，t-M.于是,一， 1-tm原式二二lim(1-t)(1tt= ltm：(1 t) (1-J =e e = e =1.tm)_mt4(1t)(1+t+t2+十tn)n例网（六）x解（变量替换法）令xx =t,xT +吗t T +8 ,t2原式寸m：（it1414t)二网(1t)(1t)10:利用中值定理求极限：1:微分中值定理：若函数f(x)满足(i)在【a，b连续.(ii)在(a,b)可导则f()f(b)-f(a)在(a,b)内至少存在一点二使f-f=(b-a)fI)或b-asin(sinx)sinxlim3例2:求T
10、xsin(sinx)-sinx=(sinx-x)cosM(x-sinx)xIsin(sinx)sinxlim3x)0x3(sinx-x)cosM(x-sinx)x1lim；=xQx3cosx-1cos0lim2=xp3x2-sinxlim=x)06x2:积分中值定理：设函数f(x)在闭区间Ab】上连续;g(x)在心力】上不b.b变号且可积，则在瓦用上至少有一点，吏得1f(x)g(x)=f(_)g(x)dxa-bTllimlim sixn( -0)n 二4sinnxdx例：求解:n.:二0Jtlim4sinnxdxns：0lim(sin)n二4n二11：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数，那么f x = f(0) f/(0)x曰&2 nun匚的2!n!xn Rn(x)R(x)二jxn(n 1)!(x2cosx-e 24x其中在0与1之间)2 x cosx = 1 一 一 解：泰勒展开式2!4a 0(
