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1、和 选课单上的 ， -北京邮电大学 20122013 学年第 1 学期概率论与随机过程期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号 学号 班内序号 !一. 单项选择题和填空题：（每空 3 分，共 30 分） 1.设 A 是定义在非空集合 W 上的集代数,则下面正确的是.A（A）若（B）若AA, BA,则 A-BAAA, B A,则 BA;（C）若（D）若A AA A, n =1,2,则;nnn=1A A, n =1,2,且 A A A n 1 2 3,则n=1A An.2. 设确的是(W,F.c)为一可测空间， P
2、 为定义在其上的有限可加测度，则下面正（A）若AF, BF,则 P ( A -B ) =P ( A) -P ( B ) ；（B）若A F, n =1,2,且 A A A n 1 2 3，则 P(n =1A ) =lim P( A ) ； n nn （C）若AF, BF,CF,，则 P ( A B C ) =P ( A) +P ( AB ) +P ( A BC ) ；（D）若A F, n =1,2,且 A A =, i =/ n i jj ， P (n =1A ) = P ( A ) . n nn =13.设 f 为从概率空间(W, F, P )到Borel 可测空间(R , B)上的实可测函数
3、，-100k 100- 0.2 0.3 0.5-表达式为 f (w ) =kI ，其中 A A =, i =/j, A i jk =0100n =0A =W，则 fdP = n W；若已知 P ( A ) = k100! 1 k !(100 -k )! 2100，则 f 2 dP =W.kP ( A ), 25 +50k2=2525k =04. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度f ( x, y ) =2, 0 x 1,0 y x, 0, 其他，则 E E X | Y = .2/35. 设随机过程 X (t ) =X coswt , -t0,E (0, 其他，p20X (t ) d
4、t ) =1w16. 设 W (t ), t 0 是参数为 s2(s 0) 的维纳过程，令 X (t ) =W ( ) ，则相关t函数 R (1,2) =Xs 22.7. 设齐次马氏链的状态空间为 E =1,2,3 ,一步转移概率为0.5 0.5 0P = 0.5 0.5 0 -2 21 22 2 2 U -则（1） lim p( n )11n =；（2）n =0p( n )33=. 1/2,2二. 概率题（共 30 分）1.(10 分) 设 ( X , Y ) 的概率密度为f ( x, y ) =12ps2e-x +x2s2 ,令 U =X2+Y2, V =Y , （1）求 (U , V )
5、 的概率密度 g (u, v ) ；（2）求 U 的边缘概率密度 g (u ) .Uu =x +y , x=u2 -v 2 ,解解.（1） 解方程 得 | v |u , v =y , y =v ,所以雅可比行列式 J =u 2 u 2 -v 20v 2 u 2 -v 21=2 uu2-v2,故 1 - u e 2s2g (u , v ) = f ( x , y ) | J |=2ps20,uu2 -v2, | v |u ,其他 .5 分（2）对 u 0 ，g (u) =g (u , v )dv = U-u-u12ps2e-u2suu2 -v 2dvu= e2ps2-u2s2 u 1-u u 2
6、 -v 2udv = e2s2-u2s2, u - u e 2s2, u 0, 故 g (u) =2s20, 其他.10 分- u V |U U -2.（10 分）设 (U , V ) 的概率密度e-u g (u, v) =0, u -v 0, v 0, 其他，（1）求 E ( IV 1| U =10) ，其中 IV 1(w) =1, wV 1，（2） D (V | U ) .0, 其他，解 U 的边缘概率密度为g (u ) = U0 ug (u , v ) dv =0e -u dv , u 0, 0, 其他,ue-u , u 0, =0, 其他,所以条件概率密度 g (u, v ) g (
7、v | u ) = =g (u)（1）1, 0 v 1| U =10) =P (V 1| U =10) =101g ( v | u =10) dv = V |U1011 1dv = .10 2（2）因为 D (V | U =u ) =u 2 U 2 ，所以 D (V | U ) = 。12 127 分10 分3.（10 分）设 X , X , , X 独立同分布，均服从两点分布，即1 2 nPX =0 = p , PX =1=1-p ,(0 p 0) 的泊松过程，即满足：(3)对 s, t 0, 有 PX ( s +t ) -X ( s ) =k =(lt ) k ek !-lt, k =0,
8、1,.X (t )(t 0) 也 是 参 数 为 l 2( 0) 的 泊 松 过 程 ， 且 与 X (t )1独 立 ， 令Y (t ) =X (t ) +X (t ) ，（1）求 m1 2Y(t )和R ( s, t ) ；（2）求 PY (1) =1 . Y解：因为Y (t ) =X (t ) +X (t )1 2是参数为2l的泊松过程，所以（） m (t ) =2 l,R ( s, t ) =2lmin s , t+4 l2st Y Y5 分（）PY (1) =1 =2 le-2l10 分2. （10 分） 设 X (t ), -t0 ， Y (t ) =X (t +h ) -X (t ) 是平稳过程；（2）求 Y (t ) 的谱 密度.解 （1） EY (t ) =E X (t +h ) -X (t ) =m-m=0,-+ 0 0 0 解 2 1 1 1 1 3 3 32 -EY (t +t)Y(t ) =E X (t +t+h)-X (t +t) X
