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1、专题12 函数模型及其应用【高频考点解读】 1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用【热点题型】题型一 几类常见函数模型例1据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000
2、)Dy0.1x1 200(0x4 000) 【举一反三】在某种新型材料和研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y2xBylog2xCy(x21) Dy2.61cos x解析：通过检验可知，ylog2x较为接近 答案：B【热点题型】题型二 三种增长型函数模型的图象与性质例2、f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是() Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x) 【举一反三】物价上涨
3、是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是() 【热点题型】题型三 二次函数模型例3、(2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,20 B12,25C10,30 0,30 【提分秘籍】 解决二次函数型实际应用问题时，除利用条件建立目标函数外，还要注意自变量的取值范围，如果涉及最值问
4、题，要注意对称轴与定义区间的关系【举一反三】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C45.56万元 D45.51万元【热点题型】题型四 分段函数模型例4、某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位；万人)与x的关系近似地满足p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)
5、与x的函数关系式：(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？【提分秘籍】 分段函数模型的应用技巧(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)构建分段函数时，要做到分段合理，不重不漏，并要注意实际问题中各段自变量的取值范围，特别是端点值(3)在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线xt(t0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是()【热点题
6、型】题型五 指数函数模型例5、将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaen t假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有升，则m_.【提分秘籍】指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率细胞分裂等一系列问题，通常可以表示为ya(1p)x的形式，利用指数运算与对数函数图象性质去求解【举一反三】某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为_万元【热点题型】
7、题型六 函数的实际应用问题例6、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【提分秘籍】函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建
8、立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题建立函数模型解应用问题的步骤如下：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中 【高考风向标】1（2014北京卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，图12记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()
9、图12A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟2（2014陕西卷）如图12所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()图12Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x【随堂巩固】1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()2国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及其以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元B
10、420万元C350万元 D320万元3某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元的水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A13立方米B14立方米C18立方米D26立方米4某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A4,8 B6,10C4%,8%D6%,100%5某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且
11、它们与投入资金x(万元)的关系是：P，Q(a0)若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为()A. B5CD6为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200元，则不予优惠；如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；如果超过500元，其中500元按第条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为_7.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方
12、米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为yta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为_；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室8某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值改造需要投入，假设附加值y(单位：万元)与技术改造投入x(单位：万元)之间的关系满足：y与ax和x2的乘积成正比例；当x时，y；0t，其中t为常数，且t0,2(1)设yf(x)，求f(x)的表达式，并求yf(x)的定义域；(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入x的值
