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1、 1 1学案46利用向量方法求空间角导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角自主梳理1两条异面直线的夹角(1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线ab，则a与a的夹角叫做a与b的夹角(2)范围：两异面直线夹角的取值范围是_(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有cos _.2直线与平面的夹角(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角(
2、2)范围：直线和平面夹角的取值范围是_(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin _或cos sin .3二面角(1)二面角的取值范围是_(2)二面角的向量求法：若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)自我检测1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D902若直线l1，l2的方向向
3、量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错4(20xx湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D1205(20xx铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，ACCD，BDCD，且AB2，CD1，则异面直线AB与CD夹角的大小为()A30 B45 C60 D75探究点一利用向
4、量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值变式迁移1如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2(20xx新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值变式迁移2如图所示，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE的中点求AB
5、与平面BDF所成角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例3如图，ABCD是直角梯形，BAD90，SA平面ABCD，SABCBA1，AD，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小变式迁移3(20xx沧州月考)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点(1)证明：SO平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值探究点四向量法的综合应用例4如图所示，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面ABC是正三角形(1)求证：ADBC；(2)求二面角BACD的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使E
6、D与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由变式迁移4 (20xx山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE； (2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小1求两异面直线a、b的夹角，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|.2求直线l与平面所成的角.可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|.3求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角则n1，n2或n1，n2(满分：
7、75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx成都月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于()A. B.C. D.2长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.3已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A. B. C. D.4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为()A. B.C. D.
8、5(20xx兰州月考)P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()A60 B70 C80 D90二、填空题(每小题4分，共12分)6(20xx郑州模拟)已知正四棱锥PABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是_7如图，PA平面ABC，ACB90且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_三、解答题(共38分)9(12分)(20xx
9、烟台模拟)如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6，OEAD.(1)求二面角BADF的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值10(12分)(20xx大纲全国)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值11(14分)(20xx湖北)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan 的
10、最小值学案46利用向量方法求空间角自主梳理1(2)(3)|cos |2(2)(3)|cos |3.(1)0，自我检测1C2.B3.C4.C5.C课堂活动区例1解题导引(1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是解如图所示，以C为原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设CACBCC12，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，(0，1,2)，(2,0，2)，cos，.异面直
11、线BD与A1C所成角的余弦值为.变式迁移1解，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0，a2，a2.又|cos，cos，.，120.异面直线BA1与AC所成的角为60.例2解题导引在用向量法求直线OP与所成的角(O)时，一般有两种途径：一是直接求，其中OP为斜线OP在平面内的射影；二是通过求n，进而转化求解，其中n为平面的法向量解设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则M(1,0,2)，N(0,1,0)，可得(1,1，2)又(0,0,2)为平面DCEF的法向量，可得cos，.所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为|cos，|.变式迁移2解以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图
