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1、42STUDIES IN ffiTHEMATICSVol. 13No. 4Jul. .2010Lebesgue测度等测包及其应用严忠权，罗会亮(黔南氏族师龙学冼歎学系，贵州都匀.553000)摘要 利用Lebesgue测度的等测内核和等测外包讨论内外测度的一系列性质给出外测度有限可加的一 个充要条件该条件改进了须有外测度有限可加性相关问题的结果.关键词 Lebesgue测度；内测度；外関度；寺测内核；绅测外包中圏分类号 CH74. 1242STUDIES IN ffiTHEMATICSVol. 13No. 4Jul. .201042STUDIES IN ffiTHEMATICSVol. 13N
2、o. 4Jul. .2010本文给出了亡的任一集的等测内核和外包概 念，利用等测内核和外包可将还未知道是否可测的集 合测度问题转化为可测集的集合测度问题，以利于应 用可测集的一系列性质讨论R”上的Lebesgue内外 测度性质，得到了内外测度的一系列性质在等测内核 和外包方法下的证明，另外还获得了外测有限可加的 一个充要条件.定义1 没EUR”为有界点集，G为包含E的 一切开集，F为含于E的任一闭集令m E = intmG ； m E = suprnFcorFCE分别为E的外测度和内测度当E的外测度和内测度 相铮时，称E为Lebesgue可测，记作mE = m E = E定理12 有界集EUR
3、为可测的充耍条件是 对任一集TUR”有T = m(丁 Q E) + m * ( T (1 E) 或者m. T m. (T D E) + m.(T A E).定义2若G = n GG UR(=1,2)1-1是开集，即G为丈中一列开集之交则称G为G广型 集；若F = UCZ Rn(n = 1.2,)是闭集，即F为R中一列闭集之并，则称F为F,-型集.引理 设EUR，则存在Gg-型集G和F型 集F使得FUEUG,且mF = m. E9 mG m9 E.收橫日期：2OO8 一】0 28)修改日期：2010 一 05 - 03墓金项目：贵州省II点支持学科(应用数学基金(黔教高发2009)30号.作老简
4、介：产忠权 0tn存在用中的开集G.和闭集F“，有F.UEUG且V 巾 E + 2, mF 力 E 丄.nn令 0 = (5 0，尸=0 F-则 FUEUG,且 G 为G 型集F为几型集，此外，对任意整数并有加 E = mG冬V加 E +丄八nm E M 加卩=N mF. A m. E n令滋fOO即得rriCr m9 mF = m. E定义3 引理1中存在的Q-型集G和F厂型集 F分别称为E的等测外包和等测内核.命题1 对任一 EUR”,则存在E的等测内核F 和等测外包G,对任一可测集A U R,有加.(E n A)=加(F n A).m * (E f A) = m(G fl A).证明 由引理存在E的等测外包G广型集G,使 G 二)E, mG = E对于可测集AUR”，由引理有mG = m(G fl A) 4- m(.G A) 9m-E= m-(En A)+m- E-A).因此，税(GCI A)加(ED A+加(G A) m(E A) = 0.由于E-AUG-A,所以，加(E A) W 加 (G A) = m(G A) 9 从而有m(G fl A) (E fl A).另一方面，由ECI AUG n A,根据外测度的单调性有m9(E n(G P A).
