高二数学(选修-人教B版)-二项式定理-教案

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1、课题学科教材教案教学基本信息二项式定理(1)数学学段:高中年级高二书名:普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3(B版)出版社:人民教育出版社出版日期:2007年4月教学目标及教学重点、难点教学目标:1掌握二项式定理及其简单应用;2发展观察、归纳、类比、猜想的意识,提高发现问题、探求问题和逻辑推理能力,养成科学的思维方式;3培养勇于探索,勇于创新的个性品质,感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美教学重点、难点:二项式定理及其应用教学过程教学环节主要教学活动设置意图(a+b)2=a2+2ab+b2,学生很容易想到用递引入(a+b)3=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b

2、3,(a+b)4=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,(a+b)n=?同学们可以拿出几枚硬币,今天我们研究一下这个问题推的方式求二项展开式,当幂指数比较小的时候还可以,但是当幂指数比较大的时候,既不容易得结果,也缺乏严格的推理证明,所以引入新课内容激发学生兴趣【问题1】(a+b)(c+d)的展开式是什么样的?取出1枚五角硬币和1枚一元硬币,两枚硬币水平摆放在桌面上,观察向上的面,有几种可能?设五角硬币的正面为a,反面为b;一元硬币的正面为c,反面为d【问题2】(a+b)2的展开式是什么样的?虽然学生知道展开形式,但是还是推导一遍,目的是通过

3、摆硬取出2枚五角硬币水平摆放在桌面上,观察向上的币的方式再次认识多面,有几种可能?设五角硬币的正面为a,反面为b(下同)项式与多项式相乘的规律【问题3】(a+b)3的展开式是什么样的?取出3枚五角硬币水平摆放在桌面上,观察向上的面,有几种可能?【问题4】(a+b)4的展开式是什么样的?取出4枚五角硬币水平摆放在桌面上,观察向上的面,有几种可能?【问题5】(a+b)n的展开式是什么样的?取出n枚五角硬币水平摆放在桌面上,观察向上的当幂指数比较大的时面,有几种可能?【二项式定理】候,学生不知道展开式的形式,通过分析新课(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+nnn+Cran-rb

4、r+n+Cnbn(nNn+多枚硬币朝上的情)况,得出结果等式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项系数Cr(r=0,1,n)叫做展开式的二项式系给出相关概念和公n式,辨析二项式系数数,展开式中的Cran-rbr项叫做二项展开式的通项,n通项是展开式的第r+1项,和项的系数,总结二项展开式的特征Tr+1=Cran-rbr(0rn,rN,nN),n+我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式总结:1二项展开式的每一项的次数都是二项式幂指数n;2二项展开式的项数是n+1项;3二项展开式书写的顺序按照字母a的降幂排序,字母b的升幂排序如果b换成-b,则(a-b)n=C0an+C1an-1(-

5、b)+C2an-2(-b)2+nnn给出两个特殊形式+(-1)rCran-rbr+n如果设a=1,b=x,则+(-1)nCnbn(nN)n+(1+x)n=C0+C1x+C2x2+nnn+Crxr+n+Cnxn(nN).n+【例1】展开(2x-1x)6.通过例题,熟悉二项展开式,尤其是解:解法一:(2x-1x)6=2x+(-1x)6(a-b)n的形式,帮60121助学生如何处理出现=64x3-192x2+240x-160+-+23xxx根号的情况,并了解解法二:(2x-12x-1)6=()6=xx(2x-1)6x3利用通项公式求解特定某一项的一般方-+=64x3-192x2+240x-160+6

6、0121xx2x3法【例2】求(1+2x)7展开式的第4项的二项式系数和系数解:(1+2x)7的展开式的第4项是例题T3+1=C3(2x)3=280x3,7【例3】求x-1的展开式中含有x3的项,并说明它解:因为(x-)9的展开式的通项是所以(1+2x)7的展开式二项式系数是C3=35,第四7项的系数是2809x是展开式的第几项?1x=Crx9-r(-)r=(-1)rCrx9-2r,xTr+1991所以9-2r=3,r=3,T3+1=(-1)3C3x3=-84x3,9所以它是展开式的第4项【练习1】在(x2+2x3)5的展开式中,常数项为答案:40【练习2】求x(1+x)6的展开式中含x3的项

7、答案:15x3【练习3】已知(1+ax)3+(1-x)5的展开式中含x3的系数为-2,求a的值答案:a=2【拓展】求(x-2y+z)5展开式中x2y2z项的系数解:解法一:(x-2y+z)5=(x-2y)+z5,C1C2x2(-2y)2z=120x2y2z,54所以(x-2y+z)5展开式中x2y2z项的系数是120解法二:(x-2y+z)=(x-2y+z)(x-2y+z),C2C2x2(-2y)2z=120x2y2z,53所以(x-2y+z)5展开式中x2y2z项的系数是1201本节课学会二项展开式了吗?总结2想一想二项展开式是如何得到的?拓展知识,给学习能力较好的学生留有提高的空间引发学生思考,回忆2求(x-)10展开式中含x4的项3求(x-)8展开式中的常数项3注意区分二项式系数和项的系数1求(x3+2x)7展开式的第4项,以及第4项的二项式系数和系数3作业巩固所学内容x1x

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