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1、作者：旧在几作品编号：2254487796631145587263GF24000022时间：2020.12.131.4 晶向指数和晶面指数一 晶向和晶面1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某 些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线 的指向。2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原 子所构成的平面。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种 物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以， 为了
2、研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。二 晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数uvw的步骤如图1所示。（1）建立以晶轴a, b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a, b， c,坐标原点在待标晶向上。选取该晶向上原点以外的任一点P（xa，yb，zc）。 将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u, v，w,且u：v：w = xa：yb：zc。001101!皿|Jo 10图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数
3、时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x , y , Z)和Q(x , y , z),然后将(x-x), (y-y),1 1 1 2 2 2 1 2 1 2(z -z )三个数化成最小的简单整数u, v, w,并使之满足u ：v ：w=(x-x)：(y-y)：(z-z)。1 2 1 2 1 2 1 2 则uvw为该晶向的指数。显然,晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反,则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图3中0 10与010。说明：a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。b 负值：标于数字上方,表示同
4、一晶向的相反方向。c晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用uvw表示，数字 相同,但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用vUVW表示。100： 100 010 001 100 010 001 111: 111 111 111 111 111 111 111 1117.OAliYUlOj(口仍图3正交点阵中的几个晶向指数2 晶面指数的确定国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数(h k 1)。图4中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。图4 晶面指数的确定(1) 建立一组以晶轴a, b，c为坐标轴的
5、坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a b，c。(2) 求出待标晶面在a, b，c轴上的截距xa，yb，zc。如该晶面与某轴平行，则截距为。 取截距的倒数1/xa,1/yb,1/zc。(4) 将这些倒数化成最小的简单整数比h, k，1，使 h：k：1= 1/xa ：1/yb ：1/zc。(5) 如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h, k, 1置于圆括号内，写成(hkl), 则(hkl)就是待标晶面的晶面指数。说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。a 指数意义：代表一组平行的晶面；b 0 的意义：面与对应的轴平行；c
6、平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；d 晶面族：晶体中具有相同条件(原子排列和晶面间距完全相同)，空间位向不同的各 组晶面，用hkl表示。在立方系中，100： (100) (010) (001), 110： (110) (101) (011) ( 110) ( 101) (011), 111： (111) ( 111) (111) (111 )e若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;f若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。立方系常用晶面指数图5。-U10jZ0图5 立方系常用晶面指数例子：请确定图6 中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。 首先选定坐
7、标系，如图所示。然后求出待标晶面在a, b, c轴上的截距，分别为a/2, 2b/3, c/2。取倒数后得到2, 3/2, 2。再将其化成最小的简单整数比，得到4, 3, 4 三个数。于是该面的晶面指数为(434)。图6图7 晶面指数的标注 所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同,但它们是成比例的,其倒数也仍然 是成比例的,经简化可以得到相应的最小整数。因此,所有相互平行的晶面,其晶面指数相 同,或者三个符号均相反。可见,晶面指数所代表的不仅是某一晶面,而且代表着一组相互 平行的晶面。图 8 立方晶胞的110、111晶面族3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：(1) 参考
8、坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移(因而原点可置于任何位置)。但 不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。(2) 晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如(123 ),211 等。(3) 若各指数同乘以不等于零的数n则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶 向或是同向(当n0)，或是反向(当n0)。但是，晶面距(两个相邻平行晶面间的距离)和 晶向长度(两个相邻结点间的距离)一般都会改变，除非n=l_no二(no)十(110)十(ioi)+ (ioi)+(on)+ (oil) +(iio)+(iio)+ (ioi) +(ioi)+(oii)+(oi
9、i)123 = (123)+ (123)十(123) + (123) + (132) + (132)十(132) + (132) +(213) + (213) + (213) + (213) + (231) + (231) + (231) + (231) +(312) + (312) + (312) + (312) + (321) + (321) + (321) + (321)+(123)十(123)十(123) + (123)十(132)十(132) + (132)十(132) +(213) + (213) + (213) + (213) + (231) + (231) + (231) +
10、(231) +(312) + (312) + (312) + (312) + (321) + (321) + (321) + (321) 从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是 符号(正负号)和排列次序不同。这样，我们只要根据两个(或多个)晶面的指数，就能判 断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号hkl,也很容易写出它所包括的 全部等价晶面。对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系， 晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以100族来包括。与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向
11、可归并为一个晶向族，用uvw表 示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的100，110，111，112和123等晶向 族所包括的等价晶向。以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就表示该性质(或 行为)对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有必要区分 具体的晶面或晶向。另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即hkl丄(hkl)。 4.六方晶系指数表示上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。 对六方晶系，取a, b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120, c轴与a, b轴相垂直，如 图9所
12、示。(110)IfrO)* w = 100 -(HO图 9 六方晶体的等价晶面和晶向指数但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面 和晶向不具有类似的指数。这一点可以从图9 看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（110 ）和（100）。图中夹角为60的 两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是100和110。由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族 或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为 了克服这一缺点，或
13、者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体 来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）。四指数表示是基于4个坐标轴：a1, a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c轴 就是原胞的a，b和c轴，而a3=-（a1+a2）。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。图 10 六方晶体的四轴系统（1）六方晶系晶面指数的标定 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在 a1， a2， a3 和c轴上的截距可求得相应的指数h，k，i，l，于是晶面指数可写成（hkil）。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。应用上述方
14、法标定的晶面指 数形式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的 关系： i = -（ h+ k ），因此，可以由前两个指数求得第三个指数。六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中。从图看出，采用四指 数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如：1010二(1010) + (1100) + (0110) + (1010) + (1100)+(0110)共 6 个等 价面(I型棱柱面)。1120二(1120) + (1210) + (2110) + (1120) + (1210) + (2110)共 6 个等 价面(II型棱柱面)
15、。而 0001只包括 (0001)一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有 O012K请读者写出其全部等价面。图 11 六方晶体中常见的晶面(2) 六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向0P可表示为：0P=ua+va2+ta3+wC，晶向指数用uvtw表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图12中轴为2110 ，&2轴1210 ，巴轴1120均属2110，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数UVW, 再利用公式转换为uvtw。采用三轴坐标系时。C轴垂直底面，气轴在底面上，其夹角为120。，如图12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 100，010，110 ，见图 12。图 12 六方晶系的一些晶面与晶向指数Ex H六方晶系
