高考数学理一轮题库:8.7抛物线

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1、 精品资料抛物线第7课时1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2. 理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用对应学生用书P142【梳理自测】一、抛物线定义及标准方程和几何性质1坐标平面内到定点F(1,0)的距离和到定直线l:x1的距离相等的点的轨迹方程是()Ay22xBy22xCy24x Dy24x2顶点在原点,焦点坐标为(2,0)的抛物线的标准方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x3已知抛物线yx2,则它的焦点坐标是()A. B.C. D.4抛物线y24x上一点M到焦点的距离为2,则M到y轴的距离为_5顶点在原点,对称轴是x轴,且经过点M(5,4)

2、的抛物线的标准方程是_答案:1.D2.D3.D4.15.y2x以上题目主要考查了以下内容:(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线(2)抛物线标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0【指点迷津】1一种对应关系抛物线、焦

3、点、准线是一种对应关系焦点在抛物线的开口内,与焦点横坐标是一对相反数(以焦点在x轴上为例)2一种转化关系抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容:可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简即焦半径的计算3六个常见结论直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图y1y2p2,x1x2.|AB|x1x2p,x1x22p,即当x1x2时,弦长最短为2p.为定值.弦长AB(为AB的倾斜角)以AB为直径的圆与准线相切焦点F对A,B在准线上射影的张角为90.对应学生用书P143考向一抛物线的定义及应用已知抛物线y22x的焦点是F,点

4、P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标【审题视点】把|PF|转化为P到准线的距离,两点之间线段最短【典例精讲】将x3代入抛物线方程y22x,得y.2,A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l:x的距离为d,由定义知|PA|PF|PA|d,当PAl时,|PA|d最小,最小值为,即|PA|PF|的最小值为.此时P点纵坐标为2,代入y22x,得x2,点P坐标为(2,2)【类题通法】(1)利用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的

5、距离问题求解1(2014辽宁省五校联考)设抛物线x212y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|BF|_解析:分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.答案:8考向二抛物线标准方程及性质(1)(2012高考陕西卷)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米水位下降1米后,水面宽_米(2)抛物线y24x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当FPM为等边三角形时,其面积为()A2B4C6 D4【审题

6、视点】(1)建立坐标系,利用点待定抛物线方程,再求横坐标(2)利用抛物线定义性质及等边三角形性质求解【典例精讲】(1)如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x22py(p0)由题意A(2,2)代入x22py,得p1,故x22y.设B(x,3),代入x22y中,得x,故水面宽为2米(2)依题意,过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为M1,记抛物线的准线x1与x轴的交点为N,则有|PM1|PF|PM|.又点M1、M均在抛物线的准线上,因此点M1与M重合由FPM为等边三角形得PMF60,又PM平行于x轴,因此MFNPMF60.在RtMFN中,|FN|2,cosMFN,|MF|4,所以等边三角形FPM的面

7、积是|MF|24,选D.【答案】(1)2(2)D【类题通法】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置,开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此2(2014郑州一模)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析:选C.如图,分别过A、B作AA

8、1l于A1,BB1l于B1,由抛物线的定义知:|AF|AA1|,|BF|BB1|,|BC|2|BF|,|BC|2|BB1|,BCB130,AFx60,连结A1F,则AA1F为等边三角形,过F作FF1AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|A1F1|AA1|AF|,即p,抛物线方程为y23x,故选C.考向三直线与抛物线的位置关系已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求的值【审题视点】联立方程组,利用抛物线定义求焦点弦长,

9、把向量用坐标表示,求关于的方程的解【典例精讲】(1)直线AB的方程是y2,与y22px联立,从而有4x25pxp20,所以:x1x2,由抛物线定义得:|AB|x1x2p9.所以p4,从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可简化为x25x40,从而x11,x24,y12,y24,从而A(1,2),B(4,4);设(x3,y3)(1,2)(4,4)(41,42)又y8x3,即2(21)28(41),即(21)241,解得0,或2.【类题通法】与抛物线的焦点弦长有关的问题,可直接应用公式求解解题时,需依据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定,是p与交点

10、横(或纵)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差这是正确解题的关键3过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,直线l与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若,36,则抛物线的方程为()Ay26xBy23xCy212x Dy22x解析:选D.设准线与x轴的交点为M,由知F为线段AB的中点,|AC|2|MF|2p.由抛物线定义知|AF|AC|,|AF|2p,故|AB|4p,在RtBCA中,|BC|2p,且cosABC,|cosABC4p2p36,p23,p,抛物线的方程为y22x,故选D.对应学生用书P144 抛物线定义及焦点弦性质的应用方法(201

11、2高考安徽卷)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点若|AF|3,则AOB的面积为()A.B.C. D2【方法分析】题目条件:已知抛物线方程,则已知焦点坐标和准线方程,过点F的直线,且|AF|3.解题目标:由弦AB形成的三角形OAB的面积关系探究:()由抛物线定义转化|AF|3,得出A点横坐标,代入抛物线得出A点坐标,由A、F两点确定AB直线,联立方程组求B点,利用SAOB|yAyB|OF|求面积()若直接用焦点弦性质yAyBp2,可求yB.()得出A点坐标,估算SOAF、SOBF与SAOB的大小关系而得答案【解题过程】(方法一)如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的

12、坐标为(1,0),又|AF|3,由抛物线定义知:点A到准线x1的距离为3,点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28,由图知点A的纵坐标y2,A(2,2),直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B,SAOB|OF|yAyB|1|2|.故选C.(方法二)若得出yA2,由yAyBp24,yB,由SAOB|OF|yAyB|.(方法三)由题意,抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为l:x1,可得A点的横坐标为2,不妨设A(2,2),则SOAF,又知0SOBFSOAF,故SAOB2,结合选项知选C.【答案】C【回归反思】(1)当涉及抛物线上的点到焦点距离问题时(如|AF|3),就可用定义转化求点的坐标(2)解决与抛物线的焦点弦有关的问题,如果能用到一些常用结论,就会带来意想不到的效果,而对于一些客观题采用排除法能快速正确的找出答案1(2013高考四川卷)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B.C1 D.解析:选B.由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为xy0或xy0,则焦点到渐近线的距离d1或d2.2(2013高考全国新课标卷)O为坐标原点,F为抛物线C:y24x的焦点,P为C上一点,若|PF|4,则POF的面积为()A2 B2C2

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