《数字信号处理习题答案：第五章 线性时不变系统的变换分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理习题答案：第五章 线性时不变系统的变换分析（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 线性时不变系统的变换分析5.1 图P5.1-1中，为理想低通滤波器，问对输入和截止频率是否有某种选择，使得输出是如图P5.1-2所示的序列，即 图P5.1-1 图P5.1-2解： 所以 ， 则 又 5.2设 为某理想低通滤波器的冲击响应，该滤波器带内增益为1，截止频率为。图P5.2示出五个系统,其中每一个都等效为一种理想LTI频率选择性滤波器.对P5.2中每一个系统画出其等效频率响应,并用标注出通带边缘频率,并指出它们是否属于低通, 高通,带通,带阻或多频带滤波器. 解：（a）由图可得 对上式进行傅立叶变换得： 为高通滤波器。（b） 进行傅立叶变换得： 为高通滤波器。（c）由图可直接得
2、 为低通滤波器。（d） 为带阻滤波器。（e）先进行增采样时频率响应 再经过后， 最后再进行减采样， 为低通滤波器。5.3在图P5.3-1所示的系统中，假定输入可以表示为 同时假设是低通的，且带宽为相当窄的信号，即，非常小以使得就是在附近的窄带信号。 图P5.3-1(a) 若，如图P5.3-2所示，证明：。图P5.3-2(b)若，如图P5.3-3所示，证明可以表示为 同时也能等效的表示为。 图P5.3-3(c) 群延迟的定义为而相位延迟的定义为，假设在的带内为1，根据本题（a）和（b）的结果，在为窄带的假设下，证明：如果、都是整数， 那么这就表明，对于窄带信号而言，对于的包络给予的延迟是，对载波
3、的延迟是。（d）参照第三章序列非整数延迟的讨论，如何解释和/或者不是整数时群延迟和相位延迟的效果。 解： ，（a）证：，相位如题图示。 （b）题图可以写出系统函数为：(c) 群延迟的定义为： 相位延迟的定义为：证明：是窄带信号，若、都是整数，则相位条件满足： 由(2)的证明结果： (d) 若为非整数时，群延迟等效于带限内插后，新时刻点（对应分数延迟因子的时刻）的样值。 不为整数时，相当于产生了非整数的延迟。5.4 设一个线性时不变系统的输入和输出满足一下二阶差分方程：（a） 画出在平面的零极点分布图。（b） 求系统的冲激响应。 （c） 解：对系统差分方程进行变换，可得：。故而：（a）零极点分布
4、如右图解5.4。图解5.4（b）因为稳定，所以只能取。即：。5.5 考虑一个线性时不变离散时间系统，其输入和输出满足下面的二阶差分方程： 。 从以下所列中选出两种该系统可能的冲激响应函数：(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)解： 对差分方程作变换得 当时， 当时，两种系统可能的冲激响应函数为（a）和(d)5.6当线性时不变系统的输入是,其输出是 求该系统的系统函数.画出的零极点图并指出收敛域. 求对所有n的系统冲击响应. 写出表征该系统的差分方程. 该系统稳定吗?因果吗? 解:对输入输出分别进行z变换得:（a） 零点z=2， 极点z= （b） （c） 所以差分方程为（d）因为的收敛
5、域位于唯一极点的外面且包含单位圆， 所以系统既稳定又因果。5.7考虑一个初始松弛的由线性常系数差分方程描述的系统，该系统的阶跃响应为：（a） 求差分方程。（b） 求系统的冲激响应。（c） 确定系统是否是稳定的。解：系统的阶跃响应为：（a）对应的变换为： ，那么可以写出该松弛系统的差分方程为：（b） ，由可以得到离散系统的冲激响应为： （c）收敛域包括单位圆，可以判断系统是稳定的。5.8 设某一线性时不变系统满足以下条件：（i）系统因果；（ii）当输入时，输出的变换为（a）求的变换。（b）可能的收敛域是什么？（c）系统的冲激响应有几种可能的选择？解：（a），：。（b）由可得：，：。又由可知应该包
6、括，且中不属于的部分由和的零极点相抵消引起。故而可得：。（c）只有一种可能：5.9 一个线性时不变系统的冲激响应为 其输入为，利用z变换求在下列输入时系统的响应。 （a） （b） 对每一种情况都标出的收敛域。 解： （a） 收敛域为 （b） 收敛域为5.10 当LTI系统的输入是时，输出为求系统函数，画出的零极点图，并标出收敛域。求对全部n值的系统冲击响应。写出表征该系统的差分方程。 解: 对输入输出进行z变换得：（a） 收敛域为 零点z=1 极点 （b） （c） 。 又因为系统不稳定，所以的收敛域不包含,因此，的收敛域只可能为5.11 一个因果线性时不变系统的系统函数有如图P5.11所示的零
7、极点图。同时已知当 时，。（a） 求（b） 求系统的冲激响应（c） 在下列输入时的系统响应：（1）（2）经采样下面连续时间信号得到的序列采样频率 图P5.11解：因果LTI系统有如题图示的零极点图：（a）由零极点的定义可知有如下的形式： （）（b）可以写成如下的形式：（c） 当为，采样以下的信号：5.12 设一线性时不变系统可由以下差分方程描述：。（a）求系统函数，画出的零极点分布图，并标出收敛域。（b）求系统的冲激响应。（c）如果该系统是一个不稳定系统，找一个稳定（可以非因果）的冲激响应，使该结果也满足上述差分方程。解：（a）对系统差分方程进行变换，可得：。故：，即：。系统的零极点分布如图解
8、5.12。图解5.12（b）设，其中，。即有： （c）存在一个稳定非因果系统，须。此时：。5.13考虑一个输入和输出满足 。 的线性时不变系统，该系统可以是或不是稳定的和/或因果的。 根据与该差分方程相联系的零极点分布，确定三种可能的系统冲激响应，证明每种可能都满足该差分方程，具体指出哪一种相应于一个稳定的系统，哪一种相应于因果系统。 解： 对给定差分方程作变换得 其零点为，极点为和；（1） 收敛域取时，系统是因果的，但非稳定 （2） 收敛域取时，系统是稳定的，但非因果 （3） 收敛域取时，系统非稳定也非因果 5.14已知一个LTI系统的系统函数为 已经知道系统是不稳定的，且冲击响应是双边的。
9、 。 求得的冲击响应可以分别表示成因果的和非因果的冲击响应之和，求相应的系统函数。 解: 因为系统的冲激响应是双边的，所以的收敛域只可能为或 非因果冲激响应 5.15 一个序列先经过某一个线性时不变系统处理后，在以2减采样得到如图P5.15-1所示，的零极点如图P5.15-2所示 yn rn 图P5.15-1(a)求出并画出系统的冲激响应。(b)第二个系统如图P5.15-1中的下半部分所示，这里序列先按2经时间压缩，然后再通过LTI系统得到。问对于任意的输入而言，是否能选择一个而有，若没有，请说明为什么；若有，请给出。如果答案与M有关，请说明是怎样的关系（M限为大于或等于2的整数）。 图P5.
10、15-2解：的零极点如图示 （a） （b）由减采样系统的输入与输出关系：当M=2是： 对于Z平面有：当M为偶数时，有：。5.16 设一线性时不变系统的系统函数有如图P5.16所示的零极点分布图，并且该系统是因果的。那么该系统的逆系统也是因果且稳定的吗？证明你的结论。提示：。图P5.16解：非因果，但稳定。因为只需极点包括单位圆，就能保证系统稳定。而如图所示的系统可写为：，其中因果、稳定且可逆。则：，其中其中因果、稳定。取，即可得到。此时，若，则必有，此时系统非因果。5.17 考虑一个线性时不变系统，其系统函数是。（a） 假设系统已知是稳定的，求当输入为阶跃序列时的输出。（b） 假设的收敛域包括，当为如图P5.17所示时，求时的。 图P5.17（c） 假定想用一个冲激响应为的LTI系统来处理，以便从中恢复出，问与的收敛域有关吗？ 解：(a) 零点为，极点为和 系统已知是稳定的，所以收敛域取为 ，所以
