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1、第七章 向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节 空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,
2、要运用代数的方法去研究空间的图形曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面
3、把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z0）中，从含有x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做，卦限，下半空间（z0）中，与，四个卦限依次对应地叫做，卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（
4、x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原
5、点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4M1M22M1N2NM22M1P2M1Q2M1R2.由于M1PP1P2x2x1,M1QQ1Q2y2y1,M1RR1R2z2z1,所以dM1M2，这就是两点间的距离公式.特别地，点M（x,y,z）与坐标原点O（0,0,0）的距离为dOM。第二节 向量代数一、向量及其线性运算1.向
6、量概念我们曾经遇到的物理量有两种：一种是只有大小的量，叫做数量，如时间、温度、距离、质量等；另一种是不仅有大小而且还有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力等.在数学上，往往用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.如图7-5所示，以M1为始点、M2为终点的有向线段所表示的向量，用记号表示.有时也用一个黑体字母或上面加箭头的字母来表示向量.例如向量a，b，i，u或 ，等.图7-5向量的大小叫做向量的模，向量，a的模分别记为，a.在研究向量的运算时，将会用到以下几个特殊向量：单位向量 模等于1的向量称为单位向量.逆向量（或负向量） 与向量a的模相
7、等而方向相反的向量称为a的逆向量，记为a.零向量 模等于0的向量称为零向量，记作0，零向量没有确定的方向，也可以说它的方向是任意的.相等向量 两个向量a与b，如果它们平行、同向且模相等，就说这两个向量相等，记作ab.自由向量 与始点位置无关的向量称为自由向量（即向量可以在空间平行移动，所得向量与原向量相等）.我们研究的向量均为自由向量，今后，必要时我们可以把一个向量平行移动到空间任一位置2向量的线性运算（1） 向量的加（减）法仿照物理学中力的合成，我们可如下规定向量的加（减）法.定义1 设a，b为两个（非零）向量，把a，b平行移动使它们的始点重合于M，并以a，b为邻边作平行四边形，把以点M为一
8、端的对角线向量定义为a，b的和，记为ab（图7-6）.这样用平行四边形的对角线来定义两个向量的和的方法叫做平行四边形法则.图7-6由于平行四边形的对边平行且相等，所以从图7-6可以看出，ab也可以按下列方法得出：把b平行移动，使它的始点与a的终点重合，这时，从a的始点到b的终点的有向线段就表示向量a与b的和ab（图7-7）.这个方法叫做三角形法则.图7-7定义2 向量a与b的差规定为a与b的逆向量（b）的和aba（b）.按定义容易用作图法得到向量a与b的差.把向量a与b的始点放在一起，则由b的终点到a的终点的向量就是a与b的差ab（图7-8）.图7-8向量的加法满足下列性质：abba; （交换
9、律）（ab）ca（bc）;（结合律）a0a; a（a）0.（2） 向量与数量的乘法定义3 设是一实数，向量a与的乘积a是一个这样的向量：当0时，a的方向与a的方向相同，它的模等于a的倍，即a a；当0时，a的方向与a的方向相反，它的模等于a的倍，即.当0时，a是零向量，即a0.向量与数量的乘法满足下列性质（, 为实数）：（a）（）a; （结合律）（）aaa;（分配律）（ab）ab.（分配律）设ea是方向与a相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a写成aaea这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此也有ea就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.二、向量的
10、坐标表示1.向量在轴上的投影为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念.（1） 两向量的夹角.设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作a，b，则称这两向量正向间的夹角为两向量a与b的夹角（图7-9），记作图7-9（）或=（），0.当a与b同向时，0；当a与b反向时，.（2） 点A在轴u上的投影过点A作与轴u垂直的平面，交轴u于点A，则点A称为点A在轴u上的投影（图7-10）.图7-10 图7-11（3） 向量在轴u上的投影首先我们引进轴上的有向线段的值的概念设有一轴u, 是轴u上的有向线段.如果数满足 |=|,且当与u轴同向时是正的，当与u轴反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线
11、段的值，记作AB，即=AB.设A、B两点在轴u上的投影分别为A，B（图711），则有向线段的值AB称为向量在轴u上的投影，记作PrjuAB,它是一个数量.轴u叫做投影轴.这里应特别指出的是：投影不是向量，也不是长度，而是数量，它可正，可负，也可以是零.关于向量的投影有下面两个定理：定理1 向量在轴u上的投影等于向量的模乘以u与向量的夹角的余弦，即Prjucos.证 过A作与轴u平行且有相同正向的轴u，则轴u与向量间的夹角等于轴u与向量间的夹角（图7-12）.从而有图7-12Prju PrjuABcos.显然，当是锐角时，投影为正值；当是钝角时，投影为负值；当是直角时，投影为0.定理2 两个向量
12、的和在某轴上的投影等于这两个向量在该轴上投影的和，即Prju（a1a2）Prjua1Prjua2.证 设有两个向量a1，a2及某轴u,由图7-13可以看到图7-13Prju（a1a2）Prju（ + ）PrjuAC,而Prjua1+Prjua2Prju+PrjuABBCAC，所以Prju（a1a2）Prjua1Prjua2.显然，定理2可推广到有限个向量的情形，即Prju（a1a2+an）Prjua1Prjua2Prjuan.2.向量的坐标表示（1） 向量的分解设空间直角坐标系Oxyz，以i，j，k分别表示沿x轴、y轴、z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量.始点固定在原点O、
13、终点为M的向量r称为点M的向径.设向径的终点M的坐标为（x,y,z）.过点M分别作与三个坐标轴垂直的平面，依次交坐标轴于P，Q，R（图7-14），根据向量的加法，有图7-14r，但，所以r.向量，分别称为向量r在x，y，z轴上的分向量，根据数与向量的乘法得xi, yj，zk.因此有rxiyjzk.这就是向量r在坐标系中的分解式.其中x,y,z三个数是向量r在三个坐标轴上的投影.一般地，设向量a,M1、M2的坐标分别为M1（x1,y1,z1）及M2（x2, y2,z2），如图7-15所示，由于图7-15r2r1,而r2x2iy2jz2k,r1x1iy1jz1k,所以a（x2iy2jz2k）（x1
14、iy1jz1k）（x2x1）i（y2y1）j（z2z1）k.这个式子称为向量按基本单位向量的分解式.其中三个数量axx2x1,ayy2y1,azz2z1是向量a在三个坐标轴上的投影.我们也可以将向量a的分解式写成aaxiayjazk.（2） 向量的坐标表示.向量a在三个坐标轴上的投影ax，ay，az叫做向量a的坐标，并将a表示为a（ax,ay,az），上式叫做向量a的坐标表示式.从而基本单位向量的坐标表示式是i（1,0,0）, j（0,1,0）, k（0,0,1）.零向量的坐标表示式为0=（0,0,0）.起点为M1（x1,y1,z1）、终点为M2（x2,y2,z2）的向量的坐标表示式为（x2x1,y2y1,z2z1），特别地，向径的坐标就是终点的坐标，即（x,y,z）（3） 向量的模与方向余弦的坐标表示式.向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标来表示，为了找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系，我们先介绍一种表达空间方向的方法.与
