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1、微分中值定理的证明及应用黄敏(井冈山大学数理学院,江西吉安 343009)指导老师：颜昌元摘要 本文从不同的方面对此定理加以证明 ,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在 此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题.关键词 辅助函数 中值定理 介值定理引言 微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心.又因为导数 的许多重要应用都是建立在中值定理基础上的，所以微分中值定理是微分学应用的理论基础. 微分中值定理通常指:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常见教材中,以罗尔 中值定理为基础,通过构造辅助函数来实现后两个定理的证明.证明的关键是做出辅助函数.现行教材中
2、传统形式的辅助函数，表达式冗长以下通过：1、分析推理法2、“K”值法3、积 分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,自然而有逻辑.并提 出一种新颖地“逆序统一证明”法证明这三个定理. 最后通过一类证明题和一些巧用来说明 “微分中值定理”的应用.1 微分中值定理的证明定理1罗尔(Rolle)中值定理 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间内(a,b)可导，且在区间端点的函数值相等，即f (a)二f (b)，那么在(a,b)内至少存在一点g (ag b),使得f弋)二0成立.定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数f (x)在闭区间a,订上连续，在开区间
3、内(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点g (ag b),使得f (b) - f (a)二 fg )(b - a)成立.定理3柯西(Cauchy)中值定理如果函数f (x)与g(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且gr (x)在(a,b)内每一点均不为零，那么在(a,b)内至少存在一点g(ag b)，使得成立.1.1 证明中建立辅助函数的方法 这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此 根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键.1.1.1 分析推理法分析下定理3,定理3的结论是:至少存在一点g ,使得f (b)
4、- f (a) g (b) - g (a)枭-命=0,即f (b) - f (a)g g ) - g(b)-华(a)f g )g g ) g(b) - g(a)因为gg )g(b)-g(a)H 0，所以只要f (b) -f (a)gg )-g(b)- g(a)fg) = 0(*)由(*)式可以试着构造函数F (x) = f (b) - f (a)g (x) - f (x) g (b) - g (a)3只要它满足罗尔中值定理的条件，便知存在一点(ag b)，使得F (x) =0.3即(*)式成立，定理3便可得证.不难验证，F (x)确实满足罗尔中值定理的条件，因此在证3明定理3时,辅助函数设为F
5、 (x)即可，同理，由定理2与定理3的关系易知，在证明定理2时,3可令辅助函数F (x) =f(b)- f(a)x- f(x)(b-a)2 这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长 ,而通过分析推理, 遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明.1.1.2 K”值法拉格朗日中值定理中，令f g ) = K，则有f (b) f (a)= Kb Ka,b-a即有f (b)- Kb = f (a) - Ka,不难发现，F(x) = f (x) - Kx在a,b上均满足罗尔中值定理的条件，其中k =/()f，因此f(x)=f(x)_/()丁兀可以作为所需要的辅助
6、函数.b 一 ab 一 a而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，因此，只需将上述方法推而广之，即可证得 柯西中值定理.令I!= K，由已知，对(a，b)中任意x , g(x)丰0，可推得g(b) g(a)丰0g (b) g (a)(根据罗尔中值定理可证得).此时有f (b) f (a) = K g (b) g (a)即f (a) Kg (a)二 f (b) Kg (b)不难发现,可以取F(x)二f (x) - Kg(x)作为辅助函数，它在a,b上均满足罗尔中值定理的条件，故有F(x)二f(x) Kg(x)，勺(agb)又F弋)丰0，所以= kF C)即f (b) - f (a) = fE )
7、g(b) - g(a) gfE )此方法构造辅助函数的过程相当巧妙，而且所得辅助函数简单明朗，但逻辑关系并非十 分严密，带有一定的偶然性，不易理解，没有上种“分析推理法”逻辑性强.1.1.3 积分法定理 2 拉格朗日中值定理的证明把需证之式变为(f (b) f (a) (b a)f E )二0对应改写成(f (b) f (a) (b a)f(x)二 0 (把 换成 x)，证明上述方程在(a，b )内存在根，将上式左边对x积分，有J f (b) f (a) (b a) f (x) dx 二(f (b) f (a)x (b a) f (x) + c故取 F(x)二(f (b) f (a)x (b
8、a)f (x).则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a)二 F(b)二 af (b) bf (a)由罗尔中值定理知，至少存在一点E(aE b)，使F(x)二0，即f (b) f (a) (b a) f E )二 0.同理，可以知道定理3 柯西中值定理的证明.把需证之式变成f (b) - f (a)g弋)g(b) - g(a)代)=0对应改写成(f (b) f (a)g(x) - (g (b) g (a)f(x)二 0 (把& 换成 x )证明上述方程在(a，b )内存在根，将上式左边对x积分，有J f (b) f (a)g (x) - (g(b) g(a)f (x) 1/x
9、= f (b) f (a)g(x) -g(b) g(a)f (x) + c 故取F (x) = f (b) f (a) g (x) g (b) g (a) f (x)则F (x)在a, b上连续，在(a, b )内可导，且F(a)=F(b)= f(b)g(a)g(b)f(a)由罗尔定理知，至少存在一点g(ag 0，使得=n(s -1),(6)对于任意常数a属于(o,；)，存在(o,i)内两个不同的点 ,n及c属于(o,i)使得f更)=丄 f 衍)1-Ctan2a .分析要证明存在(o,i)内两个不同的点E ,n，使得题中等式成立，关键是在(o,i)内插入一个分点c,将闭区间o,i分成两个子区间
10、o,c及c,l,然后分别在这两个闭区间上 应用中值定理即可.证(1)显然，f (x)分别在0,2及2,1上满足Lagrange中值定理的条件，故存蒂属于o,2 nI 2丿属于2,1 使得i2丿f () - f (0)21=代)，-02f(i)- f() 宀=fn).i -2从而)+fn)二 2.(2)因为f (x)在【0,1上连续，f (0)二0, f (1)二1，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于(0,1)上满足f(C)= 2，显然，f (x)分别在，c及c,l上满足Lagrange 中值定理的条件，故存茁 属于【0,c，0属于c,1使得：斗畀二f ()c-0二 f n)1-c从而11+ 一f e ) f n)(3)构造辅助函数F(x)二f (x) + x一 1显然，其在【0,1上连续，且F(0)二 f (0) + 0-1=-1 0根据闭区间上连续函数的介值性定理，存在c属于(0,1)，满足F(C)二0即f (c)二1 -c又f (x)分别在o，c及c,l上满足Lagrange中值定理的条件，故存在属于【0,c，H属 于c,
