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1、空间向量与立体几何测试题一、选择题1 若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是答案：AA. 个圆E. 个点D.平行四边形C.半圆2 .在长方体 ABCD ABQDi中，下列关于 aC1的表达中错误的一个是（a. AA 屜B.c. AD Cc1 花D.3 .若 a, A.B.C.D.(a(a m(a b) (a-b)-cb, c为任意向量，b) c a (b c)b)caB dd- D1C11扃CD1）池2F列等式不一定成立的是（d ）a-c b-c ma mb a-(b-c)4.若三点A, B,C共线，P为空间任意一占八、5且PAPBA.
2、1B.1C.1D.225.设a(x,4,3),b(3,2, z) , 且a II b ,则xz等于（bA.4B.9C.9D.6496 .已知非零向量ei, e2不共线,如果ABeie2,ACAB, C,D (c )定共圆PC ,则2$ 8e2,AD的值为（b ）3e3e?，则四点A.B. 恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面7.如图1,空间四边形 ABCD的四条边及对 角线长都是a ,点E, 的中点，贝U a2等于（F, G分别是AB, AD,CDA.2BA-ACB.2AD-BDC.-i T2FG-CAD.12EF-CB8. 右 aeie2e3,b ei e2bd)图1A.
3、ei 2e2 3e3，且5, 1，id xa ybB. 2，2ezc，则ei e2y, z的值分别为（C.舄12 2e3D. 5 丄12 2x,19 .若向量a(1,2)与b (2,1,2)的夹角的余弦值为8，则9(c )C. 2 或5510.已知ABCD为平行四边形，且A(413), B(2, 5,1),A. 7,4, 1211 .在正方体ABCDA. 2B. 2B. (2,4,1)C.(2141)D.C(3,7,2或-555),则顶点D的坐标为(d )D. (513,3)AiBiCiDi 中,O 为 AC,A. 60B.90C. arccos3BD的交点，则 3GO与ad所成角的(d )D
4、. arccos612.给出下列命题：b，贝U a-(b已知aA B,c) c-(b a) b-c ;M , N为空间四点，若不构成空间的一个基底， 那么A,B, M , N共面;b，则a, b与任何向量都不构成空间的一个基底; 若a, b共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2二、填空题13.已知 a (3,15), b 答案：竺，里,55已知ab所在直线或者平行或者重合.c )C. 3D. 4(1,2, 3)，向量c与z轴垂直，且满足ca 9,4，则c14 .已知A B, C三点不共线，0为平面ABC外一点，若由向量OPoA5?OB OC 确3定的点P与A, B, C共面，那么答
5、案:15.已知线段 AB 面，BC , CD BC, DF 面_215于占J 八、DCF30，且 D, A在平面的同侧，若 AB BC CD 2，则AD的长为答案:2. 216.在长方体ABCD ABQ1D1中，BQ和CQ与底面所成的角分别为 60和45,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 . 答案： 乜4三、解答题17 .设 a12ijk, a2i 3j 2k, as2i j 3k , a43i2j数，使a4a1a2 a3成立?如果存在，求出，证明.答案：解：假设a4a1a2 a3成立. a1(2,1,1),a2(13,2), a3( 21,3) , a4(3,2 ,5),- (22
6、,3,23 )(3,2 ,5).2232 ,32,解得1,235,3.所以存在2,1 v3使得a42a1 a2 3a3.18.如5k，试问是否存在实;如果不存在，请写出1冬1 2角60nn23aC在f：r?i(X打AD,AE423/；：AG|n2(x 2)20,又AD(x 2) y 202, y, 2)由AlH24212： 62、石图2,正三棱柱ABC AB1C1的底面边长为a，侧棱长为 2a，求ACi与侧面ABBiAi所成的则 A(0,0,0, B(0, a,0, A1(0,0,2a), G逅 a,旦，貶a .2 2由于n ( 1,0,0)是面ABBtA的法向量,又AiMAAcos AAAH
7、AAcos AAAM20已知正方体 ABCD AB1GD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ 2 ,解：建立如图所示的空间直角坐标系,xOy面于 H，设 H (x, y,0),A(2,0,0) E(1,1,1).面AED于M，并延长交则自A (2,0,2)A作AH则AH确定P, Q的位置，使QB1 PD1 . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t ,得 CQ . 2 (2 t)2 , DQ 22 (2 t)2 .那么 B(2,0,2) D1 (0,2,2, P(2, ,0) Q(22 (2 t)2,2,0),cos故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30 .19如
8、图3,直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90,侧棱AA 2, D, E分别是CG与的中点，点E . 平面ABD上的射影是 ABD的重心G，求点A1到平面 AED的距离. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA 2a ,2a 2 a 1 则 A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,1), G 33 3从而 GE a a - , BD (0 , 2a,1).3 3 3由GE BDGe-BD 0 ,得 a 1 ,(2,0,1),AE ( 1,1,1).x 1 , /口得 H (1,1,0). y 1，从而 QB1
9、(J2 (2 t)2, 2,2), PS (2,2 t,2),由 QB1 PD1 Qb1-Pd1 0,即 2 2 (2 t)22(2 t) 4 0 t 1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB1SA如图4，在底面是直角梯形的四棱锥1AB BC 1, AD ,求面 SCD 与面2S ABCD 中， ABC 90, SA 面 ABCD ,SBA所成二面角的正切值.解:建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0, B( 1, 0,0, C( 1,1,0) D 0,-0 S(00,1).2延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE SF于点E ,连结DE ,则 DEA即为面S
10、CD与面SBA所成二面角的平面角.1212又由于SA AF且SA AF，得那么EA从而 cos EA,ED1 , ED2IJA-EDEA|ED1c 1E,0,21 1 i2 2因此 tan EAf,ED故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为2222 .平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形CD的值为多少时 A1C 面C1BD ?请予以证明. CC解：欲使AQ 面GBD 只须ACI欲证AC C1D 只须证即(CACCi) 0 ,也就是(CD CB CC1)-(CDCG)(CD CCi)CiCBGCD BCD，试问:Ci D，且 AC Ci B .22cos BCD0 ,CBIICC! cos C1CB由于 C1CBBCD ,显然，当时，上式成立;同理可得，当 -CC1 时AC C1B .因此，当CDCC11 时，AC 面 GBD .
