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1、 利用导数研究方程的根和函数的零点5(2009文)（本小题满分12分）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；5. 解法一：（I）依题意，得 由得（）由（I）得（ 故 令，则或当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得
2、由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 易得，而的图像在是一条连续不断的曲线， 故在存在零点，这说明线段与曲线有异于的公共点解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14(2009文)（本小题满分12分）设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求
3、的取值围14. 解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.23(2009文)（本小题满分12分）已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值围。23. 解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结
4、合的单调性可知，的取值围是。12（2010年高考卷文科21）（本小题满分14分）设函数，其中a0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1（）确定b、c的值（）设曲线在点（）与（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值围。（11文）19（本小题满分14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）证明：对任意的在区间均存在零点（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力与分类讨论的思想方法，满分14分。 （）解：当时，所以曲线在点处
5、的切线方程为 （）解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （）证明：由（）可知，当时，在的单调递减，在单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当时，在（0，1）单调递减，所以对任意在区间（0，1）均存在零点。 （2）当时，在单调递减，在单调递增，若所以存在零点。若所以存在零点。所以，对任意在区间（0，1）均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）均存在零点。10.2012高考18（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极
6、值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数答案解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）有
7、唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。考点函数的概念和性质，导数的应用。解析（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的
8、方程 根的情况；再考虑函数的零点。13.2102高考文22（本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，）的零点个数，并加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：此题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：（I）在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号在上单调递增（lfxlby）（II）当时，在上单调递增在上有唯一零点当时，当上单调递减存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时，时，在上有唯一零点 由得：函数在有两个零点。（2013年高考卷（文）已知函数. () 求f(x)的反函数的
9、图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. () 设a, ,所以存在,使得.由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值围是.2013年高考卷（文）已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.答案解:()由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增
10、, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. ()当时,令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值围是. 综上,得的最大值为. /
