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1、几何中心三角形的中心几何学中，n维空间中一个对象X的几何中心或中心、重心、形心是将X分成矩相等的 两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平均。如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么 它的几何中心和质量中心重合。该条件是充分但不是必要的。有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中 心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的惟一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下 保持不变。一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗 的几何中心不在内部。地理学中，地球表面一个区域的几
2、何中心也称为地理中心。三角形的中心形心是三角形的幾何中心，通常也称为重心，三角形的三條中线（頂點和對邊的中點的連線） 交點，此點即為重心1。三條中線共點證明A三條中線共點證明用西瓦定理逆定理可以直接證岀:BE CF AD _ 11 1ec fa Kb = i i i因此三線共點。2中心分每条中线比为2:1,这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三 个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于xa,ya）, （xb,yb）,和（xc,yc）,那么几 何中心位于：（扛 +叼+%）】（%+的+如
3、）=壬3d %） +扛斑酚）+*（%）三角形的中心一般用字母G表示。在任何一个三角形中，外心O、中心M、九点圆圆心F 和垂心h四点共线，且mm 林=:2 : 。这个定理最早由欧拉证明， 故称为欧拉定理，这条线称为欧拉线。类似的有,内心I、中心G和奈格尔点N三点共 线，且三角形中心的等角共轭点称为类似重心中心分中线为2:1的证明设三角形ABC的中线AD, BE和CF交于三角形的中心G,延长AD至点O使得 AG = GO那么三角形AGE和AOC相似（公共角A, AO = 2 AG, AC = 2 AE）,所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。从而图形
4、GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BG 的交点使得GD = DO,这样GO GD + DO 二 2GD.所以，丿二2（；门，或一 （U） =2 :,这对任何中线都成立。三角形的重心與三頂點連線，所形成的六個三角形面積相等。2_頂點到重心的距離是中線的丁。重心、外心、垂心、九點圓圓心四點共線。3重心、內心、奈格爾點、類似重心四點共線。三角形的重心同時也是中點三角形的重心。在直角座標系中，若頂點的座標分別為（xl,yl）、（x2,y2）、（x3,y3）,則中點的座標為：I 33）三線坐標中、重心的座標為：be : ca : at? = - : y : = esc-
5、4 : cscS : cseCa o c四面体的中心类似三角形的中心的结论对四面体也成立,四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的 连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何n-维单形。如果单形 的顶点集是vO,.,vn,将这些顶点看成向量，几何中心位于:多边形的中心一个由N个顶点（xi , yi ）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算:4 记号（xN , yN ）与顶点（x0 , y0 ）相同。多边形的面积为：4 = （航如+1 -航+1）多边形的中心由下式给出：川_1= 厂匸（甌+及山+1 -心+i yi）1=QN-iG =百2輛+ 5+i）（心场+1 -场+1 yO
6、1=0有限点集的中心给定有限点集八宀心属于L ,它们的中心定义C为小 吗+衍+盹面积中心面积中心和质量中心非常类似,面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质 量中心将位于面积中心。对于两部分组成的图形，将有如下等式：*是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。A是特定部分的面积。当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后 通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：这里从y-轴到中心的距离是丁，从x-轴到中心的距离是丁，中心的坐标是V。积分公式一个平面图形的中心的横坐标(x轴)由积分丿讨血给出。这里f(x)是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x
7、图形的测度。这个公式能由区 域关于 y-轴的第一矩(en:First moment of area) 得出。这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x- 轴的中心即厂。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。对任意维数n,由相同的公式得出L 中一个对象的中心第一个坐标，假设f(x)是对象 在坐标x的截面(也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合)的(n-1)-维测度。注意到分母恰是对象的n-维测度。特别的，在f为正规时，即分母为1，中心也称为f的 平均。当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。圆锥和棱锥的中心圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。对称中心如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取 决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的 或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。
