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1、求二面角专题45如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种.而这些方法中最简单易学的就是向量法,但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题,究其原因应是对向量法的源头不尽了解.本文就简要介绍有关这类问题的处理方法,希望对大家有所帮助.在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题对于空间向量、,有cos,=利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题例1 在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD求面VAD与面VDB所成的二面角的大小证明： 建立如图空间
2、直角坐标系,并设正方形边长为1,依题意ABCVDxyz得= ,是面VAD的法向量,设= 是面VDB的法向量,则= .cos,=,又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角为锐角,所以其大小为BBCACADM例2如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB =,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M求证CD平面BDM；求面B1BD与面CBD所成二面角的大小 解：略BBCACADMyxzG如图,以C为原点建立坐标系.设BD中点为G,连结BG,则依G,= ,= ,= 0,BDBG又CDBD,与的夹角等于所求二面角的平面角 cos=所以所求二面角的大小
3、等于arccos例3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F求二面角CPBD的大小解：zPFEDABCyxG如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设设点F的坐标为,=,则从而所以=由条件EFPB知,= 0,即,解得点F的坐标为,且,即,故是二面角CPBD的平面角=,且,所以,二面角CPBD的大小为xyzABBA例4 已知三棱柱AB中,平面平面,=,=,且= 2,=,求二面角AB的大小解：以为原点,分别以,所在的直线为x,y轴,过点且与平面垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系如图,则,A,B= ,= 显然为平面的法向量,取= ,设平面的法向量为= ,则 = 0,= 0即,令y =,x = 2,z = 1,则= cos,=,即,= arccos故二面角AB的大小为arccos7 / 7
