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1、数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧 . 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求
2、和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：Snn(a1an )n( n 1)d2na12na1qn )(q1)2、等比数列求和公式：Sna1 (1a1an q(q1)1q1qn1n( nnk21n(n 1)(2n3、 Snk1)4、 Sn1)k12k 16例1 已知 log 3x1，求 xx 2x3xn的前 n 项和 .log 2 3解：由 log 3x1log3xlog 3 2x12log 2 3由等比数列求和公式得Snxx 2x3xn（利用常用公式）11)1 1 x(1xn ) 2(12n1x12n12例2n 1+2+3+ +n ， n N *,求 f (n)Sn的
3、最大值 .设 S(n32)Sn 1解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn1 (n1)(n2)（利用常用公式）22f (n)Snn(n32)Sn 134n64n216411850n34( n)250nn 当n8，即 n 8 时， f (n)max1850二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n bn 的前 n项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例3求和： Sn13x5x27x3(2n1) xn1解：由题可知， ( 2n 1)xn1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列x n 1 的通项之积设 x
4、Sn1x3x 25x37x 4( 2n1)x n .（设制错位）得 (1 x) Sn12x2x 22x32x 42xn1(2n1) xn（错位相减 ）再利用等比数列的求和公式得：(1 x) Sn12 x 1xn1(2n1) xn1xSn(2n1)xn1(2n1) xn(1x)(1x)2246,2n例 4求数列,2 ,3,n ,前 n 项的和 .22222n1 的通项之积解：由题可知，n 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 2n2设 Sn2462n222232 n1 Sn2462n （设制错位）22223242n 1得 (11 )Sn222222n（错位相减 ）222 2232 42n2n
5、 1n 2 Sn4 2n 1三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 (a1 an ) .例 5求证： C n03C n15C n2(2n 1)C nn(n 1)2 n证明： 设 SnC n03C n15C n2(2n1)C nn .把式右边倒转过来得Sn(2n1)C nn(2n 1)C nn 13C n1C n0（反序）又由 C nmC nn m 可得Sn(2n1)C n0(2n 1)C n13C nn1C nn . .+得2Sn( 2n2)(C n0C n1C nn1C nn ) 2(n1)2n（
6、反序相加）Sn(n1)2n例 6求 sin 2 1sin 2 2sin2 3sin2 88sin 2 89 的值解：设 Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 . 将式右边反序得Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1 .（反序）又因为sin xcos(90x), sin 2 x cos2 x 1 +得（反序相加）2S(sin 2 1cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89) 89 S 44.5题 1 已知函数（ 1）证明：；（2）求的值 .1=（ 2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7n 项和： 1117,12 ， 求数列的前1,4,2n 13naa
