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1、 1 1成都七中高三上期2月阶段性测试数 学 试 题(答案)本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).满分150分.考试时间120分钟.第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=, B=, 则=A B1 C.2 D.1,2【解析】 集合A=,B=,.故选A2.已知是虚数单位, 若(),则的值为A B C D【解析】 由,知为纯虚数,为纯虚数,故选B. 3.已知直线平面,直线平面,则下列结论中错误的是A.若, 则 B.若, 则 C.若,则 D.若 ,则开始输入是【解析】 因为直线平面,直线平面
2、,对于A,由知,又平面,所以,因此A正确. 对于B,因,平面, ,又平面,所以B正确.对于C,因,平面,又平面,所以C正确.对于D,由可知平行、相交、异面,所以D错.故选D.4. 在如图所示的程序框图中,若,则输出的结果是A. B.C. D.【解析】 由 得当时, ,当时,当时,故选B.5.一个边长为2,宽1的长方形内画有一个中学生运动会的会标,在长方形内随机撒入100粒豆子,恰有60粒落在会标区域内,则该会标的面积约为A B C D【解析】 由几何概型的概率计算公式可知, ,所以会标的面积约为,故选B.6.三角函数,若,则直线的倾斜角为A B C D 【解析】 由知三角函数的图像关于对称,所
3、以所以,直线的斜率,其倾斜角为倾斜角为.故选D.7.已知数列满足,则A. -6 B.6 C.-1 D.1【解析】 由可得,从而可得,所以数列是一个周期为4的数列.又,所以,所以,又,所以.8. 已知向量, B是圆C:上的一个动点,则两向量所成角的最大值为A B C D 【解析】 如图,过点O向圆C作切线OB,连结CB,为所成最大角,因点C,所以,又,故选D.9.已知抛物线的焦点与双曲线的左焦点的连线交于第二象限内的点M,若抛物线在点M处的切线平行于双曲线的一条渐近线,则p=A. B. C. D.【解析】 由题意可知,抛物线的焦点坐标为,双曲线的左焦点坐标为,则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直
4、线方程为,即.设该直线与抛物线的交点M的坐标为,则抛物线在点M的切线斜率为,又抛物线在点M处的切线与双曲线的一条渐近线平行,点M在第二象限,所以,解得.即,又点M在直线上,所以,解得,故选A.10.定义区间长度为,(),已知函数 ()的定义域与值域都是,则区间取最大长度时的值为A B C D 3【解析】 设是已知函数定义域的子集. 或,故函数在上单调递增,则,故是方程的同号的相异实数根,即的同号的相异实数根. ,同号,只需, 取最大值为.此时.第卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在二项式展开式中含项是第 项.【解析】 二项式展开式的通项公式为 ,
5、令,二项式展开式的第7 项.12.已知,则=_.【解析】 由,得,,则,所以.13.设、满足约束条件,若取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个,所以目标函数的几何意义是直线与直线重合,比较得.14. 设,若,则的最大值为 .【解析】 ,由得为定值,令,当且仅当时等号成立,.15.在平面直角坐标系中,定义:一条直线经过一个点,若都是整数,就称该直线为完美直线,这个点叫直线的完美点,若一条直线上没有完美点,则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题:如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b一定是遗憾
6、直线;“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”;存在恰有一个完美点的完美直线;完美直线经过无穷多个完美点,当且仅当直线经过两个不同的完美点.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的编号)【解析】 对于,如果取k= ,b=,那么直线y=x+经过完美点(-1,0),是完美直线,所以错误;对于,由知当k=b=时,k与b均为无理数,但是直线y=x+是完美直线,所以错误;对于,设直线方程为y= x,只经过了一个完美点(0,0),所以正确;对于,设y=kx为过原点的完美直线,若此直线过不同的完美点(x1,y1)和(x2,y2),把两点代入完美直线的方程得y1=kx1,y2=kx2,两式
7、相减得y1-y2=k(x1-x2),则(x1-x2,y1-y2)也在完美直线y=kx上,且(x1-x2,y1-y2)也为完美点,通过这种方法得到直线经过无穷多个完美点,所以正确.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分) 在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且(1)记角,若ABC是锐角三角形,求f(x)的取值范围;(2)求ABC的面积的最大值.【解析】 (1)在ABC中, A+B+C=,解得. (1分) 在ABC中,b=1, ,即 (4分)ABC是锐角三角形, ,得x+,于是2,即f(x)的取值范围为(,2 (6分)(
8、2)由(1)知,由余弦定理得,即.,当且仅当时,等号成立. (10分)此时,故当时,ABC的面积的最大值为. (12分)17.(本小题满分12分)某校高三年级有400人,在省标准化考试中,用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图(右图).(1)求第四个小矩形的高;(2)估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人?(3)样本中,已知成绩在内的学生中有三名女生,现从成绩在内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流,设有名女生被选取,求的分布列和数学期望0.0300.0200.0120.010100 110 120 130 140 150【解析
9、】(1)由频率分布直方图可知,第四个小矩形的高为. (3分)(2)因为样本中,数学成绩在120分以上的频率为,(4分)所以通过样本估计总体(即将频率看作概率),可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有(人). (6分)(3)由频率分布直方图可知,样本中成绩在内的学生共有(人). 于是,由题设知这6人恰好是3男3女.(7分)因为的所有可能取值为0、1、2、3,且,.(10分)所以的分布列为:0123所以的数学期望为:(12分)18.(本小题满分12分)已知几何体A-BCPM的三视图如图所示,侧视图是直角三角形,正视图是一个梯形. (1)求证: ;(2)求二面角的余弦值.1
10、侧视图主视图211俯视图【解析】 (1)由三视图可知,平面平面,平面平面,且,平面, (3分) 又平面,. (5分)E(2)解法一 取BC的中点N,连接MN,由三视图可知,PMCN 且PM=CN,MNPC,MN=PC,由(1)知平面ABC,平面ABC作,交AC的延长线于H,连接MH易知,为二面角的平面角 (7分)由三视图可知PC=MN=1,CB=2,AC=1,点A到直线BC的距离为AE=.在中,AC=1,在中,在中,在中, (11分)E故二面角的余弦值为 (12分)解法二 由三视图可知,PMCN 且PM=CN,MNPC,MN=PC,由(1)知平面ABC,平面ABCPC=MN=1,CB=2,AC=1,点A到直线BC的距离为AE=.在平面ABC内,过C作BC的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示在中,AC=1, (8分)设平面MAC的法向量为,则由得,解得,是平面MAC的一个法向量. (10分)又平面ABC的一个法向量为, (11分)由图可知二面角为锐二面角,二面角的余弦值为 (12分)19.(本小题满分12分)已知数列的前项和满足,且.(1) 求证:数列是等比数列,并通项公式;(2)设,为数列的前项和,求.【解析】 (1) 由可得,两式作差得, (3分)又,则,所以,整理得,又,故数列是首项为,公比为的等比数列,所以. (6分)(2) 由(1)可得,所以,