小学奥数之排列组合问题.

《小学奥数之排列组合问题.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数之排列组合问题.（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 计 数 问 题 教学目的1.使学生对的理解排列、组合的意义；对的辨别排列、组合问题;2.理解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题,写出符合规定的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其她专项的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的某些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握某些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。5.根据不同题目灵活运用计数措施进行计数。知识点拨:例题精讲:一、 排 列组 合 的 应 用【例 1】 小新、阿呆等七个同窗照像，分别求出在下列条件下有多

2、少种站法?(1）七个人排成一排； （)七个人排成一排，小新必须站在中间(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边（5)七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】 （）(种）。（)只需排其他6个人站剩余的6个位置.（种）.(3)先拟定中间的位置站谁,冉排剩余的个位置210（种).()先排两边，再排剩余的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 (种)（5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩余的5个人,(种

3、)（6)七个人排成一排时，个位置就是各不相似的目前排成两排,不管前后排各有几种人，7个位置还是各不相似的，因此本题实质就是7个元素的全排列（种）.(7）可以分为两类状况：“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种状况是对等的，因此只规定出其中一种的排法数,再乘以2即可.4322880(种）排队问题,一般先考虑特殊状况再去全排列。【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以构成多少个没有反复数字的个位是的三位数?【解析】 个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知,，根据排列数公式,一共可以构成（个）符合题意的三位数。【巩固】 用1、2、4、5这五个数字可构成多少个比大且百

4、位数字不是的无反复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看： 把排在最高位上,其他个数可以任意放到其他4个数位上,是个元素全排列的问题，有(种)放法,相应24个不同的五位数； 把2，4,5放在最高位上,有3种选择，百位上有除已拟定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有种选择，其他的个数字可以任意放到其他3个数位上,有种选择由乘法原理，可以构成(个）不同的五位数。由加法原理,可以构成(个）不同的五位数。【巩固】 用到9十个数字构成没有反复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则567是第几种数?【解析】 从高位到低位逐级分类: 千位上排,，或时,千位有种选择，而百、十、个位可以从中

5、除千位已拟定的数字之外的个数字中选择,由于数字不反复,也就是从个元素中取个的排列问题，因此百、十、个位可有(种)排列方式.由乘法原理，有(个） 千位上排，百位上排时，千位有种选择,百位有种选择，十、个位可以从剩余的八个数字中选择.也就是从个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理,有(个). 千位上排，百位上排，十位上排,，,，时，个位也从剩余的七个数字中选择，有(个). 千位上排，百位上排,十位上排时，比小的数的个位可以选择,，,共个综上所述，比小的四位数有(个），故比小是第个四位数.【例 3】 用、这五个数字，不许反复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析】 按位数来分类考虑: 一位数只有个

6、; 两位数:由与,与,与，与四组数字构成,每一组可以构成(个)不同的两位数,共可构成(个)不同的两位数; 三位数：由,与；，与;，与;,与四组数字构成，每一组可以构成(个）不同的三位数，共可构成(个）不同的三位数；四位数：可由,，这四个数字构成，有(个)不同的四位数; 五位数:可由，,构成,共有（个)不同的五位数.由加法原理,一共有(个)能被整除的数,即的倍数.【巩固】 用1、2、3、六张数字卡片，每次取三张卡片构成三位数,一共可以构成多少个不同的偶数？【解析】 由于构成偶数,个位上的数应从，,中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩余的张中选二张,有(种）选法由乘法原理,一共可以构成（个

7、）不同的偶数.【例 4】 某管理员忘掉了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非数码构成,且四个数码之和是,那么保证打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非数码之和等于9的组合有1，,1,6；,1,2,；1，1,3，4；1,2,，4；1,2,3，3;2,2，,3六种。第一种中,可以构成多少个密码呢?只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一种,其他位置放，共有种选择;第二种中，先考虑放，有种选择,再考虑的位置,可以有种选择，剩余的位置放,共有(种)选择同样的措施，可以得出第三、四、五种都各有种选择.最后一种,与第一种的情形相似,的位置有种选择,其他位置放,共有种选择综上所述,由加法原理，

8、一共可以构成(个)不同的四位数,即保证能打开保险柜至少要试次.【例 5】 两对三胞胎喜相逢,她们围坐在桌子旁，规定每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法?【解析】 第一种位置在个人中任选一种,有(种）选法,第二个位置在另一胞胎的人中任选一种，有(种)选法.同理，第,，个位置依次有,，,种选法.由乘法原理,不同的坐法有（种)。【例 6】 一种电子表在6时24分秒时的显示为6：24：30,那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相似的时刻一共有多少个?【解析】 设A：BC是满足题意的时刻,有A为8，、D应从，1,2，3，4,5这6个数字

9、中选择两个不同的数字,因此有种选法，而C、E应从剩余的个数字中选择两个不同的数字，因此有种选法,因此共有=120种选法。从8时到时这段时间里,此表的5个数字都不相似的时刻一共有1260个。【例 7】 一种六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相似的将这个六位数的6个数字重新排列，至少还能排出多少个能被11整除的六位数?【解析】 设这个六位数为，则有、的差为0或11的倍数.且a、c、d、e、f均不为0,任何一种数作为首位都是一种六位数。 先考虑a、e偶数位内,b、d、f奇数位内的组内互换,有=3种顺序; 再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有=36种顺序。 因此，用均不为的、b、c、d

10、、e、f至少可排出6+36=2个能被11整除的数(涉及本来的)。因此至少还能排出72-=1个能被1整除的六位数。【例 8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同窗进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你固然不会是最差的”从这个回答分析，人的名次排列共有多少种不同的状况?【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化.仔细审题,已知“甲和乙都未拿到冠军”,并且“乙不是最差的”,也就等价于人排成一排,甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数,由于乙的限制最多,因此先排乙,有种排法，再排甲

11、，也有种排法，剩余的人随意排，有(种)排法由乘法原理,一共有(种)不同的排法。【例 9】 名男生，名女生，全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法:甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起; 男女相间.【解析】 先排甲,个位置除了中间和两端之外的个位置都可以,有种选择,剩余的个人随意排，也就是个元素全排列的问题,有(种）选择.由乘法原理，共有(种)排法 甲、乙先排,有(种）排法;剩余的个人随意排，有(种)排法.由乘法原理，共有（种)排法. 分别把男生、女生当作一种整体进行排列，有(种）不同排列措施,再分别对男生、女生内部进行排列,分别是个元素与个元素的全排列问题

12、，分别有（种)和（种)排法由乘法原理，共有(种）排法. 先排名男生,有(种)排法，再把名女生排到个空档中,有(种)排法.由乘法原理,一共有(种)排法。【巩固】 五位同窗扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻,共有（ )种不同的排法。【解析】 五位同窗的排列方式共有5432=1(种）。如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人,那么四人的排列方式共有431=24（种)。由于贝贝和妮妮可以互换位置，因此贝贝和妮妮相邻的排列方式有22=48(种）；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有1204872(种)。【例 10】 一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目.求: 当个舞蹈节

13、目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序? 当规定每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 先将个舞蹈节目当作个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题,有 （种)措施第二步再排个舞蹈节目,也就是个舞蹈节 目全排列的问题,有(种)措施.根据乘法原理，一共有(种)措施一方面将个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，是个元素全排列的问题,一共有(种)措施.第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“”的位置）,这相称于从个“”中选个来排,一共有(种）措施.根据乘法原理,一共有(种)措施。【巩固】 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目构

14、成一台晚会,规定任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一种节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排措施共有多少种？【解析】 先排独唱节目,四个节目随意排，是个元素全排列的问题,有种排法；另一方面在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目,两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有（种)排法;再在独唱节目之间的个位置中排一种合唱节目，有种排法由乘法原理，一共有(种)不同的编排措施.【小结】排列中,我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采用“插空”的措施来拟定排法了.总的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘,得出最后的答案。【例 11】 从1,2，

15、8中任取个数构成无反复数字的三位数，共有多少个？（只规定列式）从位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员，宣传委员,共有多少种不同的选法?3位同窗坐个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？8个人坐个座位,每个座位坐1人,共有多少种坐法?一火车站有股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放措施？8种不同的菜籽,任选种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法?【解析】 按顺序,有百位、十位、个位三个位置，8个数字(8个元素）取出个往上排,有种.3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素)任取3位往上排，有种位同窗当作是三个位置，任取8个座位号(8个元素)中的3个往上排（座号找人），每拟定一种号码即相应一种坐法，有种3个坐位排号,2，3三个位置,从8人中任取3个往上排(人找座位